1.2. Законы распределения случайных величин

Обозначим:

Х - СВ;

х₁, х₂,..., х_i,..., х_n - значения СВ;

Р - вероятность появления СВ Х;

р₁, р₂, ..., р_i,..., р_n - вероятности появления значений х₁, х₂,..., х_i,..., х_n соответ­ственно;

n - объем выборки.

Законом распределения СВ называется любое соотношение, устанавли­вающее связь между возможными значениями СВ и соответствующими вероят­ностями их появления.

Закон распределения дискретной СВ представляется в виде статистического ряда распределения:

X	x1	x2	.....	xi	.....	xn
Р	р1	p2	.....	рi	.....	рn

где - вероятность принятия СВ значения х_i с частотой m_i; .

Графическое изображение статистического ряда называется полигоном.

Для непрерывной СВ не существует статистического ряда распределения, но есть аналог, где вместо дискретных значений Х берутся интервалы значений СВ равной длины l, и величины Р представляют отношение числа значений СВ, попавших в данный интервал, к суммарному числу наблюдаемых значений.

Длина интервала l и число интервалов q находится из выражений:

; q = 1 + 3,33lg(n) ,

где x_max и x_min - максимальное и минимальное значение СВ в выборке.

Если значение СВ находится в точности на границе двух интервалов, то ус­ловно считается, что оно в равной мере принадлежит к обоим интервалам, и п­оэтому необходимо прибавить к величинам m того и другого интервала по 0,5.

Графическое изображение полученного закона распределения непрерывной СВ называется гистограммой, где по оси абсцисс откладываются интервалы дли­ной l (их число равно q), а по оси ординат - прямоугольники с высотой, равной вероятности попадания СВ в i-й интервал (i=1, 2, ..., q).

Hаиболее полную информацию о связи Х и Р дают интегральный и диффе­ренциальный законы распределения.

Интегральный закон распределения (функция распределения) F(x) - ве­роятность того, что СВ Х меньше некоторой текущей переменой х:

.

F(x) существует как для дискретной, так и для непрерывной СВ.

Свойства функции распределения:

F(x) - неубывающая функция своего аргумента, т.е. при ;

;

.

Статистически функция распределения находится по формуле

, т.е.

Дифференциальный закон распределения (плотность распределения) характеризует плотность, с которой распределены значения СВ в точке Х = х:

Плотность распределения - это производная от функции распределения.

Свойства плотности распределения:

;

Функция распределения от плотности распределения выражается следую­щим образом:

Экспоненциальный закон распределения

Распределение СВ Х подчиняется экспоненциальному закону, если плот­ность распределения f(x) имеет вид:

,

где - интенсивность случайного события - постоянная величина.

Тогда

Характерным признаком этого распределения является постоянство значе­ния .

Экспоненциальный закон используется при оценке надежности изделий, от­казы которых обусловлены большим количеством входящих в их состав комплек­тующих элементов.