Тема 5. Математические основы финансового менеджмента

1. Понятие декурсивной, антисипативной и учетной ставок процентов.

2. Учет по простым и сложным процентам.

3. Понятие дисконта и дисконтирования

4. Эквивалентность процентных ставок различного типа.

5. Денежные потоки и их оценка.

6. Инфляция и ее учет в наращенных суммах по вкладам.

Вопрос 1. Понятие декурсивной, антисипативной и учетной ставок процентов

Процесс перехода к рыночным отношениям обусловил необходимость коренной перестройки финансовой системы, пересмотра финансово-расчетных отношений между производственными единицами, предприятиями, банковскими учреждениями и госбюджетом, государством и населением.

Как известно, одним из принципов кредитования является вознаграждение кредитору за пользование кредитом, которое выражается в выплате процентов за пользование ссудой. При этом проценты начисляются по определенным ставкам. Наиболее распространенной является декурсивиая ставка процентов, обозначаемая «i». Она широко применяется при начислении процентов по банковским вкладам. Смысл ее исчисления состоит в том, что она определяется в процентах от первоначальной суммы долга и затем прибавляется к сумме долга.

Пример: вклад был размешен в сберегательном банке по 10% годовых, т.е. по истечении срока вклада вкладчик (он же кредитор банка) получит сумму, соответствующую: 100%+10%=110% вклада.

В отличие от декурсивной ставки, антисипатнвная ставка определяется в процентах от суммы долга и затем вычитается из неё. Пример, организация берет ссуду на год также под 10% годовых, только уже применяя антисипативную ставку. Ей выдадут не 100% суммы долга, а 90% (100%-10%), то есть кредитор сразу взял процент за пользование данным кредитом. В настоящее время в финансовых операциях антисипативная ставка практически не применяется, но в начале XX века в царской России это был очень распространенный способ при кредитовании со стороны ростовщиков.

Учетная ставка, которая обозначается, используется в вексельных операциях. Особенность ее начисления состоит в том, что она начисляется не на первоначальную сумму долга, как декурсивная и антисипативная ставки, а на конечную сумму и затем вычитается из неё. Эта особенность вытекает из специфики вексельного обращения.

Вопрос 2. Учет по простым и сложным процентам.

В современной практике используются различные способы начисления процентов. В случае, если проценты за полученную ссуду определяются исходя из первоначальной суммы долга, при этом эта сумма служит исходной базой и соответственно, каждый раз при начислении процентов не меняется, то такие проценты называют простыми.

Начисление простых процентов является наиболее старой и простой формой вознаграждений за пользование ссудами. Это начисление может происходить дискретно в зависимости от условии договора: раз в год, полугодие, квартал, месяц, иногда и за более короткий срок. При этом интервал времени между начислением процента называют периодом начисления процентов. Так как, мы рассматриваем начисление простых процентов по декурсивной ставке процента, то начисление за соответствующие периоды проценты либо выплачиваются кредитору, либо присоединяются к сумме долга. Процесс увеличения суммы денег в связи с начислением процентов принято называть наращиванием или ростом первоначальной суммы.

Для записи формулы наращения по простым процентам следует ввести следующие обозначения:

λ - проценты за весь срок займа;

i - дежурная ставка процентов (выраженная в виде десятичной дроби);

Р — первоначальная сумма (долга, депозита);

п — число периодов начисления (срок или продолжительность периода сделки).

Произведение Pi представляет собой начисленные проценты за один период, а за n периодов — Pni.

Итак, на исходную сумму кредита в конце года начисляется процентная ставка. Тогда, к концу первого года сумма долга уже составит:

P+Pi = P(1+i)

А к концу второго года сумма долга будет составлять:

P(1+i)+Pi=P(l+2i).

к концу третьего года:

P(l+2i)+Pi=P(1+3i), и т.д.

Как видим, процесс изменения суммы долга с начисленными простыми процентами описывается, с точки зрения математики, арифметической прогрессией: Р, P+Pi, P+2Pi, P+3Pi и т.д.

Причем величину S понимают не только как наращенную сумму денег по простым процентам, а, в зависимости от финансовой операции — суммой возврата долга.

Если ссуда выдается на срок менее одного года, то используют формулу:

где L - число дней ссуды иди продолжительность ссуды в днях;

К - число дней в году (временная база).

Различают проценты обыкновенные (коммерческие), если временная база берется как 360 дней в году, К = 360, и точные, если за базу берут действительное число дней в году, т.е. К=365 (366) дней.

Часто используются дискретно меняющиеся во времени процентные ставки. Причинами применения, к примеру, ставок по вкладам в сберегательных банках могут быть: инфляция, применение ставки рефинансирования ЦБ РФ и др. Поэтому важным становится методология определения наращенной суммы вклада при изменении ставки процентов во времени.

Тогда наращенная сумма денег будет определяться по формуле:

S = Р(1 + n₁i₁ + n₂i₂ + n₃i₃ +... + n_k i_k ,

где i_k — ставка простых процентов для периода:

k=1,2.3...m

n_k — продолжительность периода k.

Для повышения заинтересованности своих клиентов и привлечения дополнительных денежных средств, коммерческие банки широко используют реинвестирование, заключающееся в том, что после начисления процентов банки присоединяют их сумму к исходной величине и далее вновь начисляют проценты.

Поэтому в финансовой практике, наряду с начислениями простых процентов, получил распространение другой механизм наращения денег — сложные проценты. В соответствии с этим процесс роста первоначальной суммы происходит с ускорением. Это ускорение вызвано тем, что на каждом шаге во времени (раз или несколько раз в году), начисленные проценты присоединяются к сумме, которая служила базой для их определения. База для определения наращенной суммы каждый раз меняется. Иначе говоря, происходит начисление «процента на проценты» или капитализация процента.

В практических расчетах применяют так называемые дискретные проценты, т.е. проценты, начисляемые за фиксированные одинаковые интервалы времени (год, полугодие, квартал и т.д.).

Итак, пусть проценты капитализируются в конце каждого временного интервала, как это предусматривается в подавляющем числе случаев.

При условии, что проценты начисляются и капитализируются один раз в год, к концу первого года проценты равны Pi, а наращенная сумма составит величину:

Р + Pi = P(1+i), к концу второго года наращенная сумма достигнет величины:

P(1+i)(1 + i) = Р(1 + i)² ,

к концу третьего года: P(1+i)²(1+i) = (1+i)³ и т.д.

Таким образом, наращенная сумма за «n» лет по сложным процентам будет определяться по формуле:

Р(1 + i)ⁿ

При начислении сложных процентов по вкладам, срок которых выражен дробным числом лет, используют следующую формулу, основанную на смешанном методе:

S=P(1+i)^a (1+bi),

где: а — целое число лет;

b — дробная часть года.