1.2.2. Перевод правильных дробей

Пусть – правильная дробь, записанная в системе счисления с основанием . Пусть – основание другой системы счисления, записанное в исходной -ичной системе счисления, причем .

Требуется перевести правильную дробь из системы счисления с основанием в систему счисления с основанием , т.е. .

Предположим, что изображение правильной дроби в -ичной системе счисления найдено и имеет следующий вид:

, (1.4)

где -ичные цифры, а 10 – основание системы счисления, т.е. .

Заменяя входящие в правую часть равенства (1.4) числа и 10 их -ичными изображениями и , получим

. (1.5)

Умножая обе части равенства (1.5) на , имеем

. (1.6)

Целая часть числа (1.6) равна , а его дробной частью является

Умножая новую дробь на , получим число, целая часть которого равна , а дробная часть имеет вид

Повторяя описанный процесс умножения нужное количество раз, легко найти одну за другой (в -ичной записи) -ичные цифры, начиная со старшей, необходимые для изображения числа с заданной точностью.

Из сказанного следует общее правило перевода правильных дробей из одной позиционной системы счисления в другую для любых оснований и .

Правило перевода. Путем последовательного умножения числа и дробных частей образующихся произведений на получают в виде целых частей этих произведений -ичные записи -ичных цифр (начиная со старшей), необходимых для изображения правильной дроби в системе счисления с основанием . Умножение выполняется в исходной, т.е. в -ичной системе счисления до тех пор, пока не будет получена заданная точность перевода либо дробная часть произведения не станет равной нулю.