2. Перевод чисел из одной позиционной системы счисления в другую

1.2.1. Перевод целых чисел

Пусть – целое число, записанное в системе счисления с основанием . Пусть – основание другой системы счисления, записанное в исходной

-ичной системе счисления, причем .

Требуется перевести число из системы счисления с основанием в систему счисления с основанием .

Предположим, что изображение числа в –ичной системе счисления найдено и имеет следующий вид:

, (1.1)

где - цифры -ичной системы, а 10 – основание этой системы, т.е. .

С учетом того, что , а , заменим в правой части равенства (1.1) числа и 10 их -ичными изображениями и . Тогда получим

. (1.2)

Деля обе части равенства (1.2) на , имеем

, (1.3)

где представляет собой правильную дробь, поскольку .

Из равенства (1.3) видно, что при делении числа на остаток равен , а частным будет

.

Если теперь частное разделить на , то получим в остатке , а в новом частном

.

Выполняя этот процесс деления раз, можно последовательно найти все числа , причем последнее частное будет иметь вид

.

Из сказанного вытекает следующее общее правило перевода целых чисел из одной позиционной системы счисления в другую для любых оснований и .

Правило перевода. Путем последовательного деления числа и его частных на получают в виде остатков деления -ичные записи -ичных цифр (начиная с младшей), необходимые для изображения числа в -ичной системе счисления. Последовательное деление производится до тех пор, пока не получится частное, меньшее чем . Это последнее частное является старшей -ичной цифрой числа . Деление выполняется в исходной, т.е. в -ичной системе счисления.

Пример.

Пусть .

Требуется перевести десятичное число в двоичную систему счисления, т.е. найти число .

Операция Частное Остаток

189 : 2 = 94 + 1

94 : 2 = 47 + 0

47 : 2 = 23 + 1

23 : 2 = 11 + 1

11 : 2 = 5 + 1

5 : 2 = 2 + 1

2 : 2 = 1 + 0

1

Таким образом, двоичная запись десятичного числа имеет следующий вид: .

Проверка правильности перевода:

.

Пример.

Пусть .

Требуется перевести десятичное число в восьмеричную систему счисления, т.е. найти число .

Операция Частное Остаток

189 : 8 = 23 + 5

23 : 8 = 2 + 7

2

Таким образом, восьмеричная запись числа имеет следующий вид: .

Проверка правильности перевода:

.