2.5.3 Локальна теорема Муавра-Лапласа

У випадку, коли й – великі числа, формула Бернуллі припускає операції з дуже великими числами.

Для спрощення обчислень знайдена асимптотична формула в 1730 році Муавром, і далі узагальнена Лапласом.

Теорема Муавра-Лапласа. Якщо ймовірність появи події у кожному випробуванні постійна й відмінна від нуля та одиниці, то ймовірність того, що подія А з'явиться в випробуваннях рівно раз, приблизно дорівнює (тим точніше, чим більше ) :

, де , а .

Значення функції поміщені в спеціальних таблицях (додаток 1). Для від’ємних значень користуються тією ж таблицею, тому що функція – парна, .

Приклад 1. Знайти ймовірність того, що подія наступить рівно 80 разів в 400 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожнім випробуванні дорівнює 0,2.

Розв’язання.

1).

2). Скористаємося формулою Лапласа:

.

3). Знайдемо :

.

4). За таблицею додатка 1 знайдемо:

.

5). Шукана ймовірність

.

Приклад 2. Ймовірність поразки мішені стрільцем при одному пострілі . Знайти ймовірність того, що при 10 пострілах стрілок уразить мішень 8 разів.

Розв’язання.

1). .

2). .

3). .

4). .

5). .

Приклад 3. Ймовірність браку . Яка ймовірність, що з 10000 взятих деталей 40 бракованих?

В цьому прикладі:

, , , , ,

, ,

.

.

2.5.4 Інтегральна теорема Муавра-Лапласа

Для обчислення ймовірності того, що подія з'явиться в випробуваннях не менш і не більше раз, використовують наступну теорему.

Теорема 2. Якщо ймовірність настання події у кожному випробуванні постійна й відмінна від нуля та одиниці, то ймовірність того, що подія з'явиться в випробуваннях не менше раз і не більше раз, приблизно дорівнює

,

де

– функція Лапласа,

а

й .

Функція Лапласа непарна: , її значення наведені у таблиці додатка 2.

Приклад 1. Ймовірність того, що деталь не пройшла перевірку ВТК, дорівнює . Знайти ймовірність того, що серед 400 випадково відібраних деталей виявиться неперевірених від 70 до 100 деталей.

Розв’язання.

1). .

2). За інтегральною теоремою Муавра-Лапласа:

.

.

3). .

4). За таблицею додатка 2:

.

5). Шукана ймовірність

.

2.6 Тренувальні вправи

1. У ящику 10 червоних й 6 синіх ґудзиків. Виймаються навмання 2 ґудзика. Яка ймовірність того, що ґудзика будуть одноколірними?

2. У майстерні працюють два мотори, незалежно друг від друга. Ймовірність того, що протягом години перший мотор не зажадає уваги майстра, дорівнює 0,9. Для другого мотора ця ймовірність дорівнює 0,85. Знайти ймовірність того, що в протягом години жоден з моторів не потребує уваги майстра.

.

3. Кинуто два гральних кубики. Знайти ймовірність того, що сума очок, яки випали, дорівнює 7.

.

4. Кинуто два гральних кубики. Знайти ймовірність того, що сума очок, яки випали, дорівнює 8, а різниця – 4.

.

5. Кинуто два гральних кубики. Знайти ймовірність того, що сума очок, яки випали на гранях, дорівнює 5, а добуток – 4.

.

6. В бригаді працюють 4 жінки та 3 чоловіка. Серед членів бригади розігрують 4 квитка до театру. Яка ймовірність того, що серед володарів квитків будуть 2 жінки та 2 чоловіка?

.

7. Серед 25 студентів групи, в який 10 дівчат, розігрують 5 квитків. Знайти ймовірність того, що білети достануться тільки 2 дівчатам.

.

8. В партії з 8 деталей 6 стандартних. Знайти ймовірність того, що серед 4 взятих навмання деталей 2 стандартні.

.

9. В цеху працюють 6 чоловіків та 4 жінки. По табельним номерам навмання вибрали 7 працівників. Знайти ймовірність того, що серед вибраних 3 жінки.

.

10. На складі 15 кінескопів, причому 10 з них вітчизняні. Знайти ймовірність того, що серед 5 навмання вибраних кінескопів 3 вітчизняних.

.

11. В групі 12 студентів, серед яких 8 відмінників. За списком навмання вибрано 9 студентів. Знайти ймовірність того, що серед 5 навмання вибраних студентів 5 відмінників.

.

12. В цеху працюють 8 чоловіків та 2 жінки. Випадковим чином було вибрано 4 особи. Яка ймовірність того, що серед них буде одна жінка?

.

13. В ящику 8 однакових деталей позначених номерами 1,2,..., 8. Навмання виймають чотири деталі. Знайти ймовірність того, що серед вийнятих деталей буде деталь за номером 3.

.

14. Кинуто два гральні кубики. Знайти ймовірність того, що сума очок, яки нипали на верхніх гранях кубиків, дорівнюватиме 9?

.

15. На шістьох картках надруковано літери Д, І, Н, О, П, Р. Картки старанно перемішані й заховані у пакет. Знайти ймовірність того, що виймаючи картки по одній i розкладаючи їх в одну лінію, одержимо слово “Дніпро”.

.

16. З колоди гральних карт (36 штук) виймають навмання 6 карт. Яка ймовірність того, що серед вийнятих карт буде “дама пік”.

.

Задачі на формулу Бернуллі, формулу Пуассона

17. Монета кидається 8 разів підряд. Знайти ймовірність того, що 6 разів вона впаде гербом нагору.

.

18. Нехай схожість насіння жита становить 90%. Знайти ймовірність того, що з 7 посіяних насінь зійде 5.

.

19. Гральна кістка підкинута 10 разів. Знайти ймовірність випадання одиниці 7 разів.

20. Прийнявши ймовірність народження хлопчика за 0,515, знайти ймовірність того, що серед 10 немовлят буде 4 дівчинки.

.

21. Ймовірність влучення у ціль з одного пострілу дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що з 5 пострілів у ціль буде влучено 2 рази.

.

22. Прядильниця обслуговує 1000 веретен. Імовірність обриву нитки на одному веретені за 1 хв. дорівнює 0,004. Знайти ймовірність того, що протягом 1 хв. обрив відбудеться на 5 веретенах.

.

23. (Пуассона) Магазин одержав 1000 пляшок мінеральної води. Імовірність того, що під час перевезення пляшка виявиться розбитою, дорівнює 0,003. Знайти ймовірність того, що магазин одержав розбитих пляшок:

а) рівно 2; б) менш 2;

в) більше 2; г) хоча б одну.

а) .

б) .

в) .

г) .

24. (Пуассона) Рукопис об'ємом в 1000 сторінок машинописного тексту містить 1000 помилок. Знайти ймовірність того, що навмання взята сторінка містить:

а) хоча б одну помилку;

б) рівно 2 помилки;

в) не менш 2 помилок.

а) .

б) .

в) .

Задачі на формулу повної ймовірності, формулу Байєса

25. Електричні лампи виготовляють на трьох заводах. Перший завод виготовляє 45% загальної кількості електричних ламп, другий – 40%, третій – 15%. Продукція першого заводу складає 70% стандартних ламп, другого – 80%, третього – 81%. До магазинів потрапляю продукція всіх трьох заводів. Знайти ймовірність того, що придбана в магазині електрична лампа виявиться стандартною.

.

26. В ящику міститься 12 деталей, вироблених на першому заводі, 20 деталей, вироблених на другому заводі і 18 деталей вироблених на третьому заводі. Ймовірність того, що деталь, виготовлена на першому заводі – відмінної якості, дорівнює 0,9; для деталей, вироблених на другому та третьому заводах, ці ймовірності відповідно дорівнюють 0,6, та 0,9. Знайти ймовірність того, що навмання вийнята деталь буде відмінної якості.

.

27. В перший урні міститься 10 кульок, з них 8 білі; у другій урні 20 кульок, з них 4 білі. З кожної урни навмання взяли по одній кульки, а потім з них навмання взяли одну кульку. Знайти ймовірність того, що ця кулька виявиться білою.

.

28. Маємо три однакових з вигляду ящика. В першому ящику 20 білих кульок. В другому ящику 10 білих і 10 чорних кульок. В останньому ящику 20 чорних кульок. З вибраного навмання ящика дістали білу кульку. Яка ймовірність того, що кулька з першого ящика?

.

29. В перший урні 20 білих кульок, в другій 10 білих и 10 чорних кульок, в третій – 20 чорних кульок. З навмання обраної урни взяли білу кульку. Знайти ймовірність того, що вона з першої урни.

.

30. Ймовірність попасти в ціль при пострілі для першого стрільця дорівнює 0,3; для другого – 0,5; для третього – 0,8. Попадання в ціль зафіксовано. Знайти ймовірність того, що влучив перший стрілець.

.

31. На склад поступає продукція трьох фабрик, причому продукція першої фабрики складає 20%, другої – 46% і третьої – 34%. Відомо також, що процент нестандартних виробів для першої фабрики дорівнює 3%, для другої – 2%, для третьої – 1%. Знайти ймовірність того, що навмання взятий нестандартний виріб вироблено на першій фабриці.

.

Задачі на локальну теорему Лапласа

32. Ймовірність поразки мішені при одному пострілі дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що при 100 пострілах мішень буде уражена рівно 75 разів.

.

33. Ймовірність народження хлопчика дорівнює 0,51. Знайти ймовірність того, що серед 100 немовлят буде 50 хлопчиків.

.

34. Знайти приблизно ймовірність того, що при 400 випробуваннях подія наступить рівно 104 рази, якщо ймовірність її появи в кожному випробуванні дорівнює 0,2.

.

35. Ймовірність появи події в кожнім випробуванні дорівнює 0,25. Знайти ймовірність того, що при 300 випробуваннях подія наступить:

а) рівно 75 разів; б) рівно 85 разів.

36. У перші класи буде прийнято 200 дітей. Знайти ймовірність того, що серед них виявиться 100 дівчаток, якщо ймовірність народження хлопчиків дорівнює 0,515.

37. Ймовірність того, що деталь, що зійшла з конвеєра, стандартна, дорівнює 0,9. Знайти ймовірність того, що з 400 деталей 356 виявляться стандартними.

.

38. Імовірність того, що деталь, що зійшла з конвеєра, стандартна, дорівнює 0,9. Знайти ймовірність того, що з 400 деталей число стандартних буде від 370 до 380.

.

39. Імовірність виготовлення деталі вищого сорту на даному верстаті дорівнює 0,4. Знайти ймовірність того, що серед навмання взятих 26 деталей половина виявиться вищого сорту.

.

40. Монета була підкинута 40 разів. Знайти ймовірність того, що герб випаде в 25 випадках.

.

41. Знайти ймовірність того, що подія наступить рівно 70 разів в 243 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події у кожному випробуванні дорівнює 0,25.

.

Задачі на інтегральну теорему Лапласа

42. Імовірність появи події в кожному з 2100 незалежних випробуваннях дорівнює 0,7. Знайти ймовірність того, що подія з'явиться:

а) не менш 1470 разів і не більше 1500 разів;

б) не менш 1470 разів;

в) не більше 1469 разів.

а) .

б) .

в) .

43. Імовірність поразки мішені стрільцем при одному пострілі дорівнює 0,75. Знайти ймовірність того, що при 100 пострілах мішень буде уражена:

а) не менш 70 разів і не більше 80 разів;

б) не більше 70 разів.

а) .

б) .

44. Яка ймовірність того, що в стовпчику з 100 навмання відібраних монет, число монет, розташованих гербом нагору, буде від 45 до 55?

45. Схожість насіння даної рослини дорівнює 0,9. Знайти ймовірність того, що з 900 посіяних насінин число пророслих буде між 790 й 830.