2.1 Алгебра подій. Операції над подіями

Випадковою подією називається всяке явище, що може відбутися або не відбутися при здійсненні певного комплексу умов.

У теорії ймовірностей мають справу з такими подіями, для яких даний комплекс умов може бути відтворений необмежену кількість разів. Кожне таке здійснення даного комплексу умов називають випробуванням або дослідом.

Події позначають заголовними буквами .

Приклади випадкових подій:

1) положення монети в експерименті – кидання монети;

2) моменти надходження викликів на станцію швидкої допомоги протягом проміжку часу .

Подія називається вірогідною, якщо вона обов'язково відбудеться в результаті даного випробування.

Приклади вірогідних подій:

1) Випадання «герба» або «решки» при киданні монети;

2) Настання ночі по закінченні дня.

Подія називається неможливою, якщо вона не може відбутися в результаті даного випробування.

Приклад неможливої події: випадання цифри 5 при киданні десятикопієчної монети.

Події і називаються несумісними, якщо в результаті даного випробування поява однієї з них виключає появу іншої.

Приклад несумісної події: випадання «герба» й «решки» при киданні монети.

Події і називаються сумісними, якщо в результаті даного випробування поява однієї з них не виключає появу іншої.

Приклад сумісної події: в аудиторію ввійшла людина. Події «в аудиторію ввійшла людина молодше 25 років» і «в аудиторію ввійшла дівчина» сумісні, тому що в аудиторію може ввійти дівчина молодше 25 років.

Дві події й називаються протилежними, якщо не поява однієї з них у результаті даного випробування викликає появу іншої.

Приклад: при перевірці якості виробу події «виріб бракований» й «виріб стандартний» протилежні.

Елементарною називається подія, що може відбутися при одному й тільки одному випробуванні.

Приклад елементарної події: при киданні грального кубика елементарною подією буде поява чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Випадкова подія називається складною, якщо вона містить у собі більш ніж одну елементарну подію.

Приклад складної події: кидання монети тричі. Випадання «герба» двічі є складною подією.

Множина елементарних подій таких, що:

1) у результаті проведення випробування завжди відбувається одне з елементарних подій ;

2) всі несумісні,

називається простором елементарних подій .

Простір елементарних подій може бути дискретним обмеженим (і необмеженим) або безперервним.

Сумою подій і називається подія

,

що складається з елементарних подій, що належать принаймні хоча б однієї з подій і .

Іншими словами, сума двох подій і означає, що відбулася, принаймні, одна з подій і .

Приклад: стрілянина по мішені два рази. Події: – влучення перший раз, – влучення другий раз. Тоді – влучення перший раз або влучення другий раз або влучення обидва рази.

Геометрична інтерпретація. Нехай на площині є деяка фігура і на площину довільним образом кидається точка. Якщо точка потрапила у фігуру , то будемо вважати, що відбулася подія .

Геометричною інтерпретацією суми подій і служить геометрична інтерпретація суми двох множин:

.

У всіх випадках сумам подій відповідають заштриховані області. Наведені малюнки називаються діаграмами Венна.

Добутком подій і називається подія

,

що складається з елементарних подій, що належать і події , і події . Інакше кажучи, добуток подій і означає, що відбулися обидві події в даному досвіді.

Якщо точка потрапила у фігуру , то будемо вважати, що відбулася подія .

Геометричною інтерпретацією добутку подій і служить геометрична інтерпретація добутку двох множин:

.

Приклад: стрілянина по мішені два рази. Події: – влучення перший раз, – влучення другий раз. Тоді – влучення обидва рази.

Різницею подій і називається подія , що складається з елементарних подій, що належать події и не належать події .

Інакше кажучи, різниця подій і полягає в тому, що відбулася подія , але не відбулося події .

Геометричною інтерпретацією різниці подій і служить геометрична інтерпретація різниці двох множин:

.

В

А

Приклад: стрілянина по мішені два рази. Події: – влучення перший раз, – влучення другий раз. Тоді – влучення перший раз і промах другий раз.