3.15 Тренувальні вправи
1.
Використовуючи
нерівність Чебишова, оцінити ймовірність
того, що
,
якщо
.
.
2.
Задано:
;
.
Використову-ючи нерівність Чебишова,
знайти
.
.
3.
Ймовірність появи події А
в кожному випробуванні дорівнює
.
Використовуючи
нерівність Чебишова, оцінити ймовірність
того, що число Х
появ події А
знаходиться в межах від 40 до 60, якщо буде
проведено 100 незалежних випробувань.
.
.
4.
Ймовірність
появи події в кожному випробуванні
дорівнює
.
Використовуючи
нерівність Чебишова, оцінити ймовірність
того, що число Х
появ події в межах від 150 до 250, якщо буде
проведено 800 незалежних випробувань.
.
5. Дискретна випадкова величина Х задана законом розподілу:
Х |
0,1 |
0,4 |
0,6 |
Р |
0,2 |
0,3 |
0,5 |
Користуючись
нерівністю Чебишова, оцінити ймовірність
того, що
.
.
3.16 Зразки контрольних робіт з теорії ймовірностей
Контрольна робота №1 з теми:
“Елементи комбінаторики. Класична ймовірність. Сума, добуток імовірностей. Повторення подій”
I варіант
1. В однієї людини є 7 книг по математиці, а в іншого 9 книг. Скількома способами вони можуть обміняти 2 книги одного на 2 книги іншого?
2. Серед 10 лотерейних квитків 6 виграшних. Навмання взяли 4 квитки. Знайти ймовірність того, що серед них 2 виграшних.
3. Урна містить 20 куль, з яких 8 білих, 12 чорних. Знайти ймовірність того, що при вийманні 3 куль всі вони виявляться чорних кольорів.
4. Імовірність влучення в мету зі зброї дорівнює 0,9. Знайти ймовірність того, що в результаті 100 пострілів влучень буде:
а) рівно 93;
б) від 90 до 96.
IІ варіант
1. У місцевком обрано 9 чоловік. З них треба вибрати голову, зам. голови, секретаря й культорга. Скількома способами це можна зробити?
2. В урні 5 білих й 4 чорних кульок. З урни виймають навмання 5 куль. Знайти ймовірність того, що 2 з них будуть білі, а 3 – чорні.
3. Є два ящики з кулями. У першому - 3 білі й 4 чорних, у другому - 6 білі й 9 чорні. З кожного ящика виймають по 1 кулі. Яка ймовірність того, що обидві кулі білі?
4. За даними технологічного процесу, у середньому 90% усього кількості виробів, що випускають заводом, є продукція вищої якості. Яка ймовірність того, що з 100 випадково обраних виробів продукцією вищої якості будуть:
а) рівно 84 виробу;
б) від 84 до 96 виробів.
IІІ варіант
1. Зі складу конференції, на якій були присутні 52 чоловік, треба обрати делегацію з 5 чоловік. Скількома способами це можна зробити?
2. В урні 8 білих й 6 чорних куль. З урни виймають відразу 3 кулі. Знайти ймовірність того, що всі 3 кулі будуть білі.
3. На клумбах 20 червоних, 10 синіх й 30 білих айстр. Яка ймовірність того, що зірвана в темряві айстра виявиться червоної або синьої?
4. За даними технічного контролю, у середньому 10% усього кількості часів, що випускають заводом, вимагають додаткового регулювання. Яка ймовірність того, що з 400 часів, зроблених заводом, вимагають додаткового регулювання:
а) рівно 52 часів;
б) від 34 до 52 часів.
IV варіант
1. На студентському вечорі присутній 12 дівчин й 15 юнаків. Скількома способами це можна вибрати 4 пари для танцю?
2. В урні 8 білих й 6 чорних куль. З урни виймають відразу 3 кулі. Знайти ймовірність того, що 2 з них будуть білі, а 1 – чорний.
3. У трьох верстатів, які обслуговує робітник, імовірність зупинки протягом години: 1-го верстата – 0,2; 2-го верстати – 0,15; 3-го верстата – 0,12. Яка ймовірність невпинної роботи всіх 3 верстатів у плині години?
4. Імовірність влучення стрілка в мішень - 0,8. Знайти ймовірність того, що з 100 пострілів у мішень, влучень буде:
а) рівно 90 разів;
б) від 75 до 85 разів.
Контрольна робота №2 з теми:
“ДВВ, НВВ, їх характеристики. Нормальний закон розподілу”
I варіант
1. Знайти математичне сподівання й дисперсію випадкової величини, заданої таблицею
х |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
р |
0,1 |
0,2 |
0,2 |
0,3 |
0,1 |
2. Випадкову величину х задано функцією розподілу F(х). Знайти:
а) щільність розподілу ймовірностей;
б) математичне сподівання;
в) дисперсію випадкової величини;
г)
імовірність того, що в результаті
випробувань випадкова величина прийме
значення, що належить інтервалу
:
3. Контрольована характеристика приладу є нормально розподіленою випадковою величиною х із середнім значенням 15,5 і середнім квадратичним відхиленням 0,2. Обчислити ймовірність влучення значення цієї величини в інтервал (15,1; 15,8) і ймовірність того, що відхилення характеристики від свого середнього не перевищить 0,3.
IІ варіант
1. Знайти математичне сподівання й дисперсію випадкової величини, заданої таблицею
х |
1 |
3 |
4 |
6 |
7 |
р |
0,1 |
0,1 |
0,3 |
0,4 |
0,1 |
2. Випадкову величину х задано функцією розподілу F(х). Знайти:
а) щільність розподілу ймовірностей;
б) математичне сподівання;
в) дисперсію випадкової величини;
г) імовірність того, що в результаті випробувань випадкова величина прийме значення, що належить інтервалу :
3.
Розмір деталі, що випускається цехом,
розподілений за нормальним законом з
параметрами а
= 5 см,
= 0,81 см2.
Знайти ймовірність того, що діаметр
випадково взятої деталі відхилиться
від математичного сподівання не більш,
ніж на 2 см.
IІІ варіант
1. Знайти математичне сподівання й дисперсію випадкової величини, заданої таблицею
х |
5 |
7 |
10 |
15 |
р |
0,2 |
0,5 |
0,2 |
0,1 |
2. Випадкову величину х задано функцією розподілу F(х). Знайти:
а) щільність розподілу ймовірностей;
б) математичне сподівання;
в) дисперсію випадкової величини;
г) імовірність того, що в результаті випробувань випадкова величина прийме значення, що належить інтервалу :
3. Розмір деталі, що випускається цехом, розподілений за нормальним законом з параметрами а = 5 см, = 0,81 см2. Знайти ймовірність того, що діаметр випадково взятої деталі відхилиться від математичного сподівання не більш, ніж на 2 см.
IV варіант
1. Знайти математичне сподівання й дисперсію випадкової величини, заданої таблицею
х |
100 |
150 |
20 |
250 |
300 |
р |
0,4 |
0,3 |
0,2 |
0,05 |
0,05 |
2. Випадкову величину х задано функцією розподілу F(х). Знайти:
а) щільність розподілу ймовірностей;
б) математичне сподівання;
в) дисперсію випадкової величини;
г) імовірність того, що в результаті випробувань випадкова величина прийме значення, що належить інтервалу :
3. Ріст дорослих чоловік являє собою випадкову величину, розподілену за нормальним законом. Нехай математичне сподівання а = 174 см, а дисперсія = 64 см2. Обчислити ймовірність того, що навмання обраний з 2 чоловік має ріст від 170 см. до 178 см.