3. Прямая задача о скоростях и ускорениях

Прямая задача о скоростях и ускорениях состоит в определении абсолютных величин линейных скоростей и ускорений точек звеньев манипулятора и абсолютных угловых скоростей и ускорений звеньев, при заданных относительных величинах.

3.1. Тензорно-матричный метод

Решение выполняется на базе основных зависимостей теории механизмов и машин для скоростей и ускорений. Однако все выражения записываются в векторном виде, учитывающем составляющие параметров по осям координат. Основным отличием решения задачи о скоростях и ускорениях для пространственной конструкции манипулятора от плоских механизмов, является необходимость нахождения проекций единичных векторов соответствующих осей шарниров, при определении угловых параметров и проекций звеньев, при определении линейных параметров, на оси базовой системы координат .

Пример 3.

В состав кинематической цепи манипулятора (рис.4.) входят три подвижных звена, вращательные А, С и поступательная В кинематические пары V класса. Их положение в пространстве, а также положение точки D схвата характеризуется длинами звеньев, линейными и угловыми обобщенными координатами (расчетные значения), известны линейные и угловые относительные скорости и ускорения звеньев руки (табл. 4).

Определить угловые скорости всех звеньев руки манипулятора, а также линейные скорости и ускорения точек B, C и D.

Таблица 4.

№ Варианта	Звено	Длина, м		Угол поворота, град		Перемещение, мм
				Общ	Расч	Общ	Расч
1	1	0,5		-	30			0,2	0,5
	2	0,4				-	0,1			0,1	0,5
	3	0,1	0,1	-	60			0,2	0,5

Решение.

Проекции единичных векторов и соответствующих осей шарниров А и С на оси системы координат описываются матрицами:

. (25)

Для звена 1 определяем векторы угловой скорости и углового ускорения и соответствующие матрицы:

. (26)

Рисунок 4. О тносительные кинематические параметры трехзвенного манипулятора

Для звена 2 угловую скорость и ускорение определяем с помощью векторных уравнений:

(27)

Векторы относительной угловой скорости и относительного углового ускорения, характеризующие закон вращения звена 3 относительно звена 2, определяют по формулам:

(28)

Для определения угловой скорости и углового ускорения третьего звена составляем векторные уравнения:

. (29)

В эти уравнения входит векторное произведение которое, как и произведение любых двух векторов , описываемых матрицами:

(30)

в общем виде превращается в вектор с матрицей

. (31)

Подставляя (27) и (28) в (31), получим матрицу-столбец вектора :

. (32)

Подставив (25), (26) и (32) в (29), определяем матрицы

, (33)

а по ним – модули векторов угловой скорости и углового ускорения: .

Для определения проекций векторов на оси координат записывают матричные уравнения

(34)

(35)

- столбец координат точки D в системе

, (36)

- матрицы переноса соответственно от систем коородинат 1 к 0 и 2 к 1:

(37)

-матрицы поворота при переходе соответственно от систем координат 1 к 0 и 3 к 2;

Подставив (35)-(37) в (34), получим матрицы

. (38)

Запишем модули соответствующих векторов

|OB|=0,5000 м; |BC|=0,5000 м; |CD|=0,1414 м.

Скорость точки В

(39)

Так как угол между векторами равен нулю, то .

Для определения скорости точки С используется векторное уравнение

. (40)

Здесь , откуда получаем матрицу

. (41)

Пользуясь зависимостями (1), (4) и (12), определяем элементы матрицы-вектора :

. (42)

Подставляя (14) и (15) в (13), получим матрицу-столбец вектора

(43)

а также его величину | |=0,5990 м/с.

Скорость точки D

. (44)

Пользуясь зависимостями (31), (33) и (38), определяем матрицу-столбец вектора :

, (45)

а затем матрицу вектора как сумму матриц (43,) и (45):

, (46)

а также его величину =0,5622 м/с.

Ускорение точки В:

. (47)

Вектор и угол между векторами равны нулю, следовательно, .

Ускорение точки С:

(48)

Здесь

откуда матрица

. (49)

Используя зависимости (27), (31) и (38), составляем матрицу векторного произведения :

. (50)

Для определения матрицы векторного произведения используем зависимости (27), (31) и (38):

. (51)

Матрицу вектора ускорения Кориолиса составляют с использованием зависимостей (27), (31) и (41)

. (52)

Складывая матрицы (49)-(52), получим матрицу вектора :

. (53)

Модуль вектора ускорения

Ускорение точки D

(54)

где матрицы входящих в уравнение векторных произведений определяют с использованием зависимостей (31), (33), (38) и (53):

. (55)

Складывая матрицы (24)-(26), получим матрицу-столбец вектора :

, (56)

откуда модуль вектора ускорения .