2. Метод расширенных матриц перехода

При решении прямой задачи о положении схвата манипулятора обычно используют метод преобразования координат. Из множества методов преобразования координат, которые отличаются друг от друга правилами выбора осей локальных систем координат, для манипуляторов обычно используется метод Денавита и Хартенберга. При использовании данного метода, оси координат располагаются по следующим правилам.

• Для звена i ось z_i направляется по оси кинематической пары, образуемой им со звеном (i+1). Начало координат размещают в геометрическом центре этой пары.

• Ось x_i направляется по общему перпендикуляру к осям z_i-1 и z_i с направлением от z_i-1 к z_i. Если оси z_i-1 и z_i совпадают, то x_i перпендикулярна к ним и направлена произвольно. Если они пересекаются в центре кинематической пары, то начало координат располагается в точке пересечения, а ось x_i направляется по правилу векторного произведения (кратчайший поворот оси z_i до совмещения с z_i-1 при наблюдении с конца x_i должен происходить против часовой стрелки).

• Ось y_i направляется так, чтобы система координат была правой.

В прямой задаче необходимо определить положение схвата манипулятора и связанной с ним системы координат по отношению к неподвижной или базовой системе координат . Это осуществляется последовательными переходами из системы координат звена i в систему координат звена i-1. Согласно принятому методу, каждый переход включает в себя последовательность четырех движений: двух поворотов и двух параллельных переносов, осуществляемых в указанной последовательности:

• поворот вокруг оси z_i-1 на угол , до тех пор, пока ось x_i не станет параллельной оси x_i-1 (положительное направление поворота при наблюдении с конца вектора z_i-1 против часовой стрелки);

• перенос вдоль оси x_i на величину -a_i до совмещения начала системы координат O_i с точкой пересечения осей x_i и z_i-1 (отсчет по оси x_i от точки пересечения оси x_i и оси z_i-1);

• перенос вдоль оси z_i-1 на величину -s_i, после которого начало системы координат O_i оказывается в начале координат O_i-1 системы (i-1) (отсчитывается по оси z_i-1 от ее начала координат O_i-1 до точки ее пересечения с осью x_i);

• поворот i-ой системы вокруг оси x_i на угол до параллельности осей z_i и z_i-1 (положительное направление поворота при наблюдении с конца вектора x_i против часовой стрелки).

Необходимо отметить, что знак угла поворота не имеет значения, так как в матрицах перехода используются направляющие косинусы (четные функции). Целесообразно рассматривать угол, обеспечивающий кратчайший поворот оси старой системы i до совмещения (параллельности) с соответствующей осью новой (i-1). Перемещения начала координат определяются как координаты начала старой системы O_i в новой O_i-1.

В манипуляторах обычно используются одноподвижные кинематические пары или вращательные, или поступательные. Оба относительных движения как вращательное, так и поступательное, реализуются в цилиндрических парах. Поэтому при общем представлении механизма используются цилиндрические пары. Опуская описание матриц поворота и переноса относительно осей x и z, запишем матрицу перехода из i-ой системы координат в (i - 1)-ю:

. (17)

В матрицу входят четыре параметра: , , , . Для любой кинематической пары три из них являются константами и только один – переменной величиной. Для вращательной пары (В) переменная величина – угол , для поступательной пары (П) – перемещение . Тогда матрица содержит только одну переменную величину, называемую обобщенной координатой. (МПР)

Прямая задача кинематики о положениях решается с помощью следующей формулы:

, (18)

где - матрица, равная произведению матриц :

. (19)

В формуле (18) и - матрицы-столбцы размером , первые три элемента которых – это координаты произвольной точки схвата соответственно в системах n и 0. [2]

Пример 2.

Рассмотрим пример расчета положения схвата для кинематической схемы манипулятора, представленной на рис. 1 методом расширенных матриц перехода, с учетом представленных в таблице 1 исходных данных для расчета.

На первом этапе, необходимо на основе кинематической схемы данной в задании (рис. 1) составить новую кинематическую схему, учитывающую изменение ориентации систем координат звеньев (рис. 3). На схеме указываются системы координат звеньев, начиная с базовой, и обобщенные координаты.

Рисунок 3. С истемы координат и параметры трехзвенного манипулятора.

На втором этапе, составляется таблица кинематических пар и параметров, вида табл.2. Углы и соответствуют общим значениям углов поворота (табл. 1), при повороте относительно осей вращения и соответственно. Угол в соответствии с рис. 3. составляет 90 градусов, если смотреть на поворот оси до совмещения с осью с конца оси . Перенос соответствует длине первого звена (табл. 1). Для системы координат второго звена характерен параметр , соответствующий суммарной величине длины второго звена и продольного перемещения (табл. 1). Для составного третьего звена принимаем значения и (табл. 1).

Таблица 2.

Кинемати- ческая пара	Тип пары	Номер звена	Параметры
			, град	, м	, м	, град
0,1	В	1		-		90
1,2	П	2	-		-	-
2,3	В	3				-

На третьем этапе, в соответствии с (17) составляются расширенные матрицы перехода для каждого из сочленений, с учетом значений приведенных в табл. 2:

, (20)

, (21)

. (22)

Далее из произведения расширенных матриц перехода звеньев , запишем вектор столбец значений :

. (23)

Подставляя значения параметров и длин звеньев в (23), получим координаты (первые три значения) положения схвата манипулятора для общего положения с учетом системы координат , принятой в соответствии с рис. 3:

. (24)