- •Содержание.
- •Предисловие
- •1. Алгебраические преобразования
- •; Ответ: .
- •2. Неравенства
- •3. Функции и графики
- •4. Преобразования степенных и иррациональных выражений
- •Решите самостоятельно.
- •5. Иррациональные уравнения.
- •Решите самостоятельно.
- •6. Основные методы решения алгебраических уравнений.
- •3) (Положить )
- •7. Уравнения, содержащие модуль.
- •8. Геометрические задачи
- •9. Примерное контрольное задание.
- •10. Основные формулы
- •Прогрессии:
- •Литература
3) (Положить )
Б. Метод подстановки. Ищем в уравнении некоторое повторяющееся выражение, которое обозначим новой переменной, тем самым упрощая вид уравнения. В некоторых случаях очевидно что обозначить. Например, уравнение легко решается с помощью подстановки , получаем . Или . Здесь можно сделать подстановку . Тогда и т.д.
В более сложных случаях подстановка видна лишь после преобразований. Например, дано уравнение . Переписав его иначе, а именно , сразу увидим подстановку . Имеем , . Осталось решить и .
В ряде других случаев удобную подстановку желательно знать заранее.
Например:
Уравнение сводится к биквадратному, если сделать подстановку .
Симметрическое уравнение (коэффициенты членов, равноотстоящих от концов, равны) решается с помощью подстановки , если - четное; если - нечетное, то уравнение имеет корень .
Уравнение вида сводится к квадратному, если и т.д.
Пример 3. Найти корни уравнения .
Решение. Перепишем уравнение в виде , т.е. . Обозначим , тогда . Поэтому
или
О т в е т: .
З а д а ч и. Решить уравнения.
1)
2)
В. Метод подбора: при решении уравнений высших степеней рациональные корни уравнения ищем в виде ,где -делитель , - делитель , и взаимно просты, .
Пример 4. Найти корни уравнения .
Решение. Здесь . Поэтому, если данное уравнение имеет рациональные корни, то их следует искать среди делителей числа 6: , , , . Проверкой убеждаемся, что , т.к. .
Делим на .
Тогда , т.е. данное уравнение можно представить в виде .
Отсюда находим, что - решение, найденное подбором, - из уравнения .
О т в е т: , .
З а д а ч и. Решить уравнения.
Г. Нестандартный подход. Общих формул нахождения корней алгебраических уравнений высоких степеней нет и поэтому об их решениях говорят как об искусстве решать пример нестандартно, придумать «свой метод», догадаться что-то прибавить и отнять, выделить полный квадрат, на что-то разделить и умножить и т.д.
Пример 5. Решить уравнение: .
Решение. Область определения переменной - все действительные числа, кроме корней знаменателей, т.е. Разделим числитель и знаменатель дробей на : , обозначим . Получаем , т.е. , т.е. , т.е. , , . Следовательно, или
О т в е т: .
Пример 6. Решить уравнение: .
Решение. Выделим полный квадрат, прибавив и вычтя в левой части уравнения : , т.е. . Пусть , тогда , , . Возвращаясь к старой переменной, получаем
или
О т в е т: .
З а д а ч и. Решить уравнения.
3)
7. Уравнения, содержащие модуль.
При решении уравнений с модулем используется определение модуля и метод интервалов. Напомним, что , если .
Пример 1. Решить уравнение .
Решение. Приравниваем к нулю выражения, стоящие под знаком модуля, отмечаем на числовой оси полученные значения, исследуем уравнение в каждом из полученных интервалов:
а) если , то и уравнение переписывается так: , т.е. , ;
б) если , то , , и поэтому имеем , и т.к. , то в промежутке корней нет;
в) если , то получаем , т.е. , ; наконец,
г) если , то , , .
О т в е т: , .
Пример 2. Решить уравнение .
Решение.
а) , тогда , , ;
б) , тогда , , - любое из ;
в) , тогда , , .
О т в е т: .
Пример 3. Найти корни уравнения .
Решение. Возведя обе части уравнения в квадрат, получим эквивалентное уравнение , т.е.
, т.е.
, , .
О т в е т: , .
Пример 4. решить уравнение .
Решение. Это уравнение эквивалентно совокупности систем
и
Отсюда находим, что , .
О т в е т: , .
Пример 5. Указать все корни уравнения .
Решение. Это уравнение с параметром а. Оно эквивалентно совокупности систем и .
Находим, что , , но должно выполняться условие , т.е. . Стало быть, , т.е. и , т.е. .
При имеем .
О т в е т: если , то ; если , то .
З а д а ч и. Решить уравнения.
3)