- •Содержание.
- •Предисловие
- •1. Алгебраические преобразования
- •; Ответ: .
- •2. Неравенства
- •3. Функции и графики
- •4. Преобразования степенных и иррациональных выражений
- •Решите самостоятельно.
- •5. Иррациональные уравнения.
- •Решите самостоятельно.
- •6. Основные методы решения алгебраических уравнений.
- •3) (Положить )
- •7. Уравнения, содержащие модуль.
- •8. Геометрические задачи
- •9. Примерное контрольное задание.
- •10. Основные формулы
- •Прогрессии:
- •Литература
Решите самостоятельно.
Упростите выражение .
1) ; 2) ; 3)19; 4) .
2.Упростите выражение .
1) ; 2) ; 3) ; 4) ;
3.Упростите выражение .
1) ; 2) ; 3) ; 4) .
4.Упростите выражение .
1) ; 2) ; 3) ; 4) .
5.Упростите выражение .
1) ; 2) ; 3) ; 4) .
5. Иррациональные уравнения.
Пример 1. Укажите промежуток, на котором лежит корень уравнения .
1) ; 2) ; 3) ; 4) .
Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат: .
После преобразований получим . Проверим, является ли –1 корнем исходного уравнения: , .
Последнее равенство верно, следовательно, -1 - искомый корень. Так как , то верный ответ №4.
О т в е т: 4.
Пример 2. Сколько корней имеет уравнение ?
1) ни одного; 2) один; 3) два; 4)четыре;
Решение. ; ; ;
; .
Проверка. - равенство неверно, значит, 2 – не корень.
- равенство неверно, значит, -2 – не корень.
О т в е т: 1.
Пример 3. Найдите решение системы уравнений и вычислите значение суммы .
1) 7; 2) 5; 3) 3; 4) 2.
Решение. Введем обозначения: . Получим:
Умножим второе уравнение на 2 и сложим с первым: .
Отсюда получаем: . Подставив 2 в первое уравнение, получим: .
Итак, , следовательно, , значит, . Итак, пара - искомое решение системы уравнений: .
О т в е т:2.
Решите самостоятельно.
Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения .
1) (-6;-3); 2) (-3;0); 3) (0;3); 4) (3;6).
Сколько корней имеет уравнение ?
1) четыре; 2) два; 3) один; 4) ни одного.
Найдите сумму корней уравнения .
1) –1; 2) 1; 3) 4; 4) 5.
Найдите решение системы уравнений и вычислите значение суммы .
1) 4; 2) 5; 3) 7; 4) 10.
6. Основные методы решения алгебраических уравнений.
Линейные уравнения . Такое уравнение имеет один корень, нахождение которого не вызывает затруднений: .
Квадратное уравнение . Квадратные уравнения решаются по готовой формуле ; используется теорема Виета: .
Пример 1. Решить уравнение .
Решение. Предложенное уравнение не является алгебраическим. Более того, не любые значения неизвестной могут выступать в качестве корней этого уравнения. Начинать решение таких уравнений необходимо с указания области определения переменной .
(1)
Теперь приводим уравнение к виду и раскрываем скобки: .
Приводим подобные слагаемые и получаем:
.
Найденные значения удовлетворяют соотношениям (1).
О т в е т:
З а д а ч и. Решить уравнения.
Уравнения степени большей чем 2.
А. Метод группировки. Путём группировки слагаемых, применения формул сокращенного умножения привести (если удается) уравнение к виду, когда слева записано произведение нескольких сомножителей, а справа – ноль. Затем приравниваем к нулю каждый из сомножителей.
Пример 2. Найти корни уравнения .
Решение: , группируем:
,
О т в е т:
Замечание: корни уравнения можно было легко найти, пользуясь теоремой Виета для кубического уравнения: если , то
В нашем случае
З а д а ч и. Решить уравнения.
1)
2)