4.Теорема Штейнера.

М омент инерции тела относительно произвольной оси АА' равен сумме момента инерции тела относительно оси ОО', проходящей через центр масс тела и параллельной данной оси АА', и произведения массы тела как целого на квадрат расстояния d между осями АА' и ОО'  (Рисунок 11).

I_АА' = I_ОО' + md²

9. Кинетическая энергия вращающегося тела. Основное уравнение динамики вращательного движения.

Кинетическая энергия тела, движущегося произвольным образом, равна сумме кинетических энергий всех n материальных точек па которые это тело можно разбить:

Если тело вращается вокруг неподвижной оси с угловой скоростью , то линейная скорость i-ой точки равна , где , - расстояние от этой точки до оси вращения. Следовательно.

(5.11)

где - момент инерции тела относительно оси вращения. В общем случае движение твердого тела можно представить в виде суммы двух движений - поступательного со скоростью, равной скорости центра инерции тела, и вращения с угловой скоростью вокруг мгновенной оси, проходящей через центр инерции. При этом выражение для кинетической энергии тела преобразуется к виду

(5.12)

где - момент инерции тела относительно мгновенной оси вращения, проходящей через центр инерции. Согласно уравнению второй закон Ньютона для вращательного движения

По определению угловое ускорение и тогда это уравнение можно

переписать следующим образом

с учетом

или

(5.10)

Это выражение носит название основного уравнения динамики вращательного движения и формулируется следующим образом: изменение момента количества движения твердого тела , равно импульсу момента всех внешних сил, действующих на это тело.

Это основное уравнение динамики для вращательного движения твердого тела. Произведение момента инерции тела на его угловое ускорение равно сумме моментов всех сил относительно оси вращения. Из уравнения следует, что

Чем больше момент инерции тела, тем больший вращающий момент следует приложить для сообщения телу определенного углового ускорения. Поэтому момент инерции массы можно рассматривать как меру инертности твердого тела во вращательном движении аналогично тому, как масса служит мерой инертности материальной точки или тела при поступательном движении.

9. Основные величины поступательного движения и их аналоги во вращательном движении. Аналоги трех законов Ньютона для вращательного движения твердого тела

Поступательное движение - движение, при котором любая прямая, проведенная в теле, остается параллельной самой себе (рис.1). Траектории всех точек тела одинаковы. Так движется, например кабина лифта или кабина колеса обозрения. При поступательном движении все точки тела движутся одинаково, поэтому достаточно изучить движение одной какой-то произвольной точки тела (например, движение центра масс тела).

Вращательное движение - движение, при котором траектории всех точек вращающегося тела являются окружностями, центры которых лежат на одной оси, называемой осью вращения . Ось вращения может располагаться как внутри тела, так и за его пределами.

 Сопоставим основные величины и уравнения, определяющие вращение тела вокруг неподвижной оси и его поступательное движение (табл.1).

Поступательное движение			Вращательное движение
Кинематические характеристики движения
Путь	S	м	Угол поворота	j	рад
Время	t	с	Период	Т	с
Скорость	V	м/с	Угловая скорость	w	рад/с
Ускорение	a	м/с2	Угловое ускорение	e	рад/с2
Динамические характеристики движения
Масса	m	кг	Момент инерции	J	кг × м2
Сила	F	Н	Момент силы	M	Н×м
Импульс	p	кг × м/с	Момент импульса	L=J×w	кг × м2 /с
Второй закон Ньютона	F=ma; F=dp/dt		Уравнение динамики  вращательного движения	M=J×e; M=dL/dt
Работа	dA=F× dS	Дж	Работа	dA=M×dj	Дж
Кинетическая энергия	EK=(mV2)/2	Дж	Кинетическая энергия	EKВР=(Jw2)/2	Дж
Мощность	N=FV	Вт	Мощность	N=М×w	Вт

 

Решение динамических задач в механике связано с основными законами поступательного и вращательного движений.

К основным законам поступательного движения относятся:

Первый закон Ньютона: существуют такие системы отсчета, относительно которых поступательно движущиеся тела сохраняют свою скорость постоянной, если на них не действуют другие тела или действие других тел скомпенсировано.
Второй закон Ньютона: ускорение, приобретаемое материальной точкой (телом), пропорционально вызывающей его силе, совпадает с ней по направлению и обратно пропорционально массе материальной точки (тела).
Общая формулировка второго закона Ньютона: скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на нее силе. Это выражение представляет собой аналог второго закона Ньютона для вращательного движения, из которого следует, что угловое ускорение твердого тела при вращении вокруг неподвижной оси прямо пропорционально вращающему моменту и обратно пропорционально моменту инерции Относительно этой оси. Из этого выражения следует, что момент инерции U является мерой его инертности во вращательном движении вокруг неподвижной оси. В случае поступательного движения мерой инертности, как известно, является масса тела.
Третий закон Ньютона: всякое действие материальных точек (тел) друг на друга имеет характер взаимодействия; силы, с которыми действуют друг на друга материальные точки всегда равны по модулю, противоположно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти точки.
	Закон сохранения импульса: импульс замкнутой системы тел сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени.

 Основными законами вращательного движения твердого тела являются:

Уравнение (закон) динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси: производная момента импульса твердого тела относительно оси равна моменту сил относительно той же оси.       или

где:  J_Z - момент инерции тела относительно оси Z;  e -угловое ускорение.

Закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени.

 Общими законами для поступательного и вращательного движения твердого тела служат:

Закон сохранения механической энергии: полная механическая энергия системы тел остается неизменной при любых движениях тел системы.

 Общефизический закон сохранения энергии: энергия не может возникнуть из ничего и не может в никуда исчезнуть, она может только переходить из одной формы в другую.