9. Вращательное движение твердого тела. Динамические .Характеристики {момент силы, момент инерции). Теорема Штейнера.

Враща́тельное движе́ние — вид механического движения. При вращательном движении абсолютно твёрдого тела его точки описывают окружности, расположенные в параллельных плоскостях. Центры всех окружностей лежат при этом на одной прямой, перпендикулярной к плоскостям окружностей и называемой осью вращения. Ось вращения может располагаться внутри тела и за его пределами. Ось вращения в данной системе отсчёта может быть как подвижной, так и неподвижной. Например, в системе отсчёта, связанной с Землёй, ось вращения ротора генератора на электростанции неподвижна. При выборе некоторых осей вращения, можно получить сложное вращательное движение - сферическое движение, когда точки тела движутся по сферам. При поступательном движении системы все ее точки проходят одинаковые пути, имеют в данный момент времени одинаковые скорости и ускорения. При вращательном движения твердого тела все эти характеристики различны для разных точек вращающегося тела, поэтому и математическая форма 2-го закона Ньютона  будет иной. При вращательном движении  существенно изменяются сами понятия причины, вызывающей вращение, и величины, определяющей инертность тела. При поступательном движении динамическими характеристиками являются сила, масса, импульс. При вращательном движении динамическими характеристиками являются момент силы, момент инерции, момент импульса. Эти характеристики можно рассматривать относительно точки вращения (полюса) и относительно оси вращения. В дальнейшем будем рассматривать эти характеристики относительно оси вращения. Определим  эти характеристики.

1.Момент силы, действующей на материальную точку, относительно оси вращения.

а ) Пусть материальная точка массы m вращается относительно оси ОО ΄. Обозначим r - радиус-вектор, проведенный от оси вращения до  точки приложения силы F (Рисунок 10).

Моментом силы F относительно оси вращения называется вектор M, равный векторному произведению радиус-вектора на вектор силы M = [ r∙ F] и  направленный по оси вращения в сторону, определяемую по правилу правого буравчика

Модуль вектора момента силы равен M = F∙r∙sinα, где α - угол между векторами rи F.

2. Момент импульса.

Моментом импульса материальной точки относительно оси вращения называется вектор L, равный векторному произведению радиуса-вектора r на вектор импульса P: L = [ r∙P] = [ r∙ mv],

где m, v -  соответственно масса и вектор скорости точки. Направление Lопределяется по правилу правого буравчика. Модуль вектора L = mv∙ r∙ sinα, где α - угол между векторами r и v.

3. Момент инерции материальной точки относительно оси вращения

Моментом инерции материальной точки относительно оси вращения называется физическая величина, численно равная произведению массы точки на квадрат расстояния точки до оси вращения (Рисунок 10).

I = mr²

М омент инерции - величина скалярная. Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси называется физическая величина, равная сумме произведений масс всех точек системы на квадраты их расстояний до оси вращения.I = m_i∙ r_i²

Для твердого тела, разбитого на элементарные массы ∆ m_i, момент инерции относительно оси равен I = ∆ m_i∙ r_i².

Моменты инерции тел правильной геометрической формы могут быть легко вычислены. В Таблице 2 приведены результаты расчетов моментов инерции  для тел правильной формы относительно оси вращения ОО', проходящей через их центр масс.

Для расчета моментов инерции вращающихся тел вокруг оси, не проходящей через центр масс тела, можно использовать теорему Штейнера.