Аналитическое счисление Формулы аналитического счисления
Кроме графического счисления учёт движения судна может производиться по формулам аналитическим методом. Аналитическим счислением называется вычисление приращений к исходным координатам за счёт движения судна для получения счислимых координат на заданный момент времени.
Аналитическое счисление применяется:
при плавании вдали от берегов, когда ведение прокладки на мелкомасштабных картах будет неточным из-за больших погрешностей графических построений;
при решении астрономических задач для вычисления счислимых координат;
при вычислении обсервованных координат при разновременных линиях положения для приведения их к одному моменту.
К
Рис.
4.35. Разность широт и разность долгот
Выведем основные формулы аналитического счисления.
Судно вышло из пункта отхода А с известными координатами 1, 1 (рис.4.35) и, следуя постоянным курсом К по локсодромии, пришло в пункт прихода В с координатами 2, 2. Если будут известны сделанные судном РШ и РД, то координаты пункта В получим из соотношений
2 = 1 + РШ и (4.71)
2 = 1 + РД. (4.72)
Значения РШ и РД можно рассчитать по известным элементам движения: К -курсу судна и S - расстоянию, пройденному судном. Примем Землю за сферу и рассмотрим элементарный Аa b:
Аа = d, Ab = dS и a b = d cоs = d,
где d - расстояние между меридианами по параллели от точки а до b, мор. мили; dS - расстояние, пройденное судном по локсодромии между точками А и b, мор.мили; d - разность широт, мор.мили.
Считая элементарный Аa b плоским, напишем дифференциальные уравнения: d = dS cos K и d = dS sin K.
В результате интегрирования при К =
const получим
,
2 1 = S cos K или РШ = S cos K. (4.73)
Для интегрирования d сos необходимо использовать теорему о среднем значении интеграла, вынеся cos за знак интеграла и отнеся его к параллели некоторой промежуточной широты п:
,
(2 1) сos п = S sinK.
Обозначим (2 1) сos п = и назовём эту величину отшествием (ОТШ). Тогда
ОТШ = = S sin K. (4.74)
В геометрическом смысле ОТШ это отрезок параллели некоторой промежуточной широты п, заключённый между меридианами пунктов отхода и прихода, выраженный в морских милях.
Уравнение локсодромии для Земли - сферы
РД = tgК РМЧ. (4.75)
Для вывода прямой связи между ОТШ и РД снова воспользуемся теоремой о среднем значении интеграла:
ОТШ = РД cosп,
откуда РД = ОТШ secп. (4.76)
Из формулы (4.76) найдём значение промежуточной широты sec п = РД / ОТШ. Подставим значение РД и ОТШ из формул (4.75) и (4.74), получим
.
(4.77)
И
тогда 
.
(4.78)
Т
Рис.
4.36. Решение прямоугольного треугольника
.
На коротких переходах можно считать, что в интервале от 1 до 2 значение cos изменяется линейно, тогда
Тогда приближённая формула РД будет
РД = ОТШ sec m. (4.79)
По формулам (4.73) и (4.74) составлена таблица 2.19а “Разность широт и отшествий“ в МТ – 2000. В ней по пройденному расстоянию S от 0 до 100 миль и курсу через 1 выбирают значения РШ и ОТШ. Курсы первой четверти (NE) выделены и напечатаны жирным шрифтом, а рядом даны три курса остальных четвертей, которым соответствуют синусы и косинусы первой четверти. Значения РШ и ОТШ даны в таблице до сотых долей мили и поэтому могут быть использованы с достаточной точностью для плавания в 10 и 100 раз больших чем S. Таблица даёт решение прямоугольного треугольника по гипотенузе (локсодромии) и прилежащему к ней углу (курсу судна - К) (рис.4.36). Проекции локсодромии на меридиан и параллель могут быть выражены в морских милях или экваториальных милях.
Таблица 2.20 МТ – 2000 “Разность долгот”, составленная по формуле РД = ОТШ sec, даёт или приближённое или точное значение РД, в зависимости от того с каким значением широты - средней (m) или промежуточной (п) входят в таблицу. Если в таблицу войти с точным значением п, то получат точное значение (для Земли - сферы) РД, если с приближённым значением m, то получат приближённое значение РД. В таблице даны результаты вычислений для ОТШ в 1,2....9 и100 миль и для широт от 0 до 90.
Для получения РД двух пунктов для десятков и сотен миль отшествия надо просто перенести запятую, отделяющую целую часть от дробной в выбранных из таблицы значений.
Для учёта сфероидичности Земли в разности широт (РШэ) следует по средней широте выбрать из таблицы 2.19б МТ – 2000 коэффициент f и рассчитать РШэ по формуле
, (4.80)
где РШш – разность широт для шара, выбранная из таблицы 2.19а МТ – 2000.
С учетом сфероидичности Земли РДэ может быть рассчитана по формуле
, (4.81)
где РМЧэ – для земного эллипсоида, выбранная из таблицы 2.28а МТ – 2000, а РШш и ОТШш – для земного шара, выбранные из таблицы 2.19а.