35.Тригонометрический ряд Фурье. 2п – периодическая функция. Теорема Дирихле.

Тригонометрическим рядом называется ряд вида:

, где - коэффициенты ряда.

Теорема Дирихле (достаточные условия разложения функции в ряд Фурье): Пусть - периодическая функция f(x) на отрезке [- ] удовлетворяет двум условиям:

1.f(x) – кусочно-непрерывная, т.е. непрерывная или имеет конечное число разрывов первого рода;

2.f(x) – кусочно-монотонна, т.е. монотонна на всем отрезке или этот отрезок можно разбить на конечное число интервалов, что на каждом из них функция монотонна, тогда соответствует функции f(x) ряд Фурье сходится на этом отрезке и при этом:

1.в точках непрерывности функции, сумма ряда S(x) совпадает с самой функцией, т.е. S(x) = f(x);

2.в каждой точки разрыва функции, сумма ряда равна: , т.е. равна среднему арифметическому пределов функции f(x) справа и слева;

3.на концах интервала, т.е. в точках , , сумма ряда равна: ;

Вывод: Если функция f(x) удовлетворяет условиям 1 и 2 теоремы Дирихле, то на отрезке [- ] имеет место разложение: , коэффициенты вычисляются по формулам: ; ; . Это равенство может нарушится только в точка разрыва функции и на концах отрезка.

Замечания:

1.Если функция f(x) с периодом , на отрезке [ ] удовлетворяет теореме Дирихле, то для вычисления коэффициентов , берутся интегралы в пределах [ ];

2.Условия Дирихле удовлетворяют большинство функций встречающихся в математике;

36.Разложение в ряд Фурье чётных и не чётных функций.

Если периодическая функция является четной и нечетной, то вычисление коэффициентов Фурье упрощается, а сам ряд Фурье становится неполным.

Из свойства определенного интеграла известно: Если функция f(x) интегрируется на симметричном отрезке [-a;a], то:

Рассмотрим случаи:

1.Если f(x) – четная, то – четная;

– нечетная;

2.Если f(x) – нечетная, то – нечетная;

–четная;

Следовательно:

1.Если f(x) – четная, то: ;

;

Тогда коэффициенты Фурье имеют вид: ;

;

;

Ряд Фурье для четной функции f(x) имеет вид: (1)

2.Если f(x) – нечетная, тогда: ;

;

Коэффициенты Фурье: ;

;

;

Ряд Фурье для нечетной функции: (2)

Ряды (1) и (2) называются по косинусам и синусам.

37.Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода.

Разлагать в ряд Фурье можно и периодическую функцию с периодом от .

Пусть функция f(x), определенная на отрезке [ ], имеет период , где – произвольное положительное число) и удовлетворяет на этом отрезке условиям Дирихле. Сделав подстановку , данную функцию f(x) преобразуем в функцию , которая определена на отрезке [- ] и имеет период . Действительно, если , то , если , то и при имеем ;

т .е.

Разложение функции в ряд Фурье на отрезке [- ] имеет вид:

где

Возвращаясь к переменной x и заметив, что , , получим: (1)

где (2)

Ряд (1) с коэффициентами вычисляемыми по формулам (2) называются рядо Фурье для функции f(x) с периодом .

З амечание: Все теоремы имеющие место для рядов Фурье –периодических функций, остаются в силе и для рядов Фурье функций, период которых . В частности, если f(x) на отрезке [ ] – четная,то ее ряд Фурье имеет вид:

где

Е сли f(x) – нечетная функция, то

где