- •19.Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка (3 типа).
- •20.Линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Решение для случая действительных различных корней.
- •21.Решение линейных однородных дифференциальных уравнений для случая комплексных и кратных корней.
- •22.Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами. Структура общего решения.
- •23.Нахождение частного решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами по специальному виду правой части.
- •24.Знакоположительные числовые ряды. Ряд геометрической прогрессии.
- •25.Свойства числовых рядов. Необходимые условия сходимости ряда.
- •26.Достаточные признаки сходимости: признак Даламбера, радикальный признак Коши.
- •27.Достаточный признак сходимости: интегральный признак Коши. Сходимость обобщённого гармонического ряда.
- •28.Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов.
- •29.Функциональные ряды. Область сходимости. Сходимость ряда .
- •30.Степенные ряды . Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда.
- •31.Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора. Ряд Маклорена.
- •32.Разложение в ряд Маклорена функций еx , sin X.
- •35.Тригонометрический ряд Фурье. 2п – периодическая функция. Теорема Дирихле.
- •36.Разложение в ряд Фурье чётных и не чётных функций.
- •37.Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода.
21.Решение линейных однородных дифференциальных уравнений для случая комплексных и кратных корней.
Корни действительные кратные: Пусть - корень уравнения кратности R, тогда решениями Д.У. является k – линейно независимых функций: ;
;
;
……………..
;
Общее уравнение: (1)
Корни комплексные различные: среди корней есть пара комплексных сопряженных, т.е. . Этой паре соответствуют две действительные функции: ;
;
Общее решение однородного уравнения для комплексных корней:
(2)
Корни комплексные кратные: Пусть корни кратности k, тогда общее решение Д.У. имеет вид:
(3)
22.Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами. Структура общего решения.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Общий вид:
(1)
Теорема: Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения, т.е.: , где – решения однородного уравнения, – частного решения неоднородного уравнения.
Общее решение однородного уравнения: .
23.Нахождение частного решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами по специальному виду правой части.
Нахождение частного решения по специальному виду правой части уравнения функции f(x): Вид частных решений запишем в таблицу:
|
Правая часть Д.У. |
Корни характеристического уравнения |
Виды частных решений |
1 |
2 |
3 |
4 |
I |
|
1.Число ноль не является корнем характеристического уравнения |
|
2.Число ноль является корнем характеристического уравнения кратности k |
|
||
II |
|
1.Число α не является корнем характеристического уравнения |
|
2.Число α есть корень характеристического уравнения кратности k |
|
||
III |
|
1.Число не является корнем характеристического уравнения |
s=max(m, n) |
2.Число является корнем характеристического уравнения кратности k |
s=max(m, n) |
||
IV |
|
1.Число не является корнем характеристического уравнения |
|
2.Число является корнем характеристического уравнения кратности k |
s=max(m, n) |
– многочлен степени m с неопределенными коэффициентами; ; ; ; …. A,B,C,D – неопределенные коэффициенты, которые нужно найти.
Замечание: Если функция f(x) содержит несколько слагаемых, каждая из которых приложит одному из приведенных в таблице видов, то частное решение ищется в соответствии с принципом суперпозиции, т.е.: