28.Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов.

Ряд вида: (1)

Остатком ряда (1) называется сумма: (2)

Теорема (Признак Лейбница) – дан знакочередующий ряд (1), тогда если:

1.Члены ряда убываю по абсолютному значению начиная с некоторой последовательности: (3)

2.Предел

То ряд (1) сходится и его сумма не превосходит 1-ого члена ряда - остаток ряда удовлетворяет неравенство .

Ряд удовлетворяющий теореме Лейбница называется рядом Лейбница. Неравенство дает оценку остатка ряда Лейбница.

Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов: Пусть даны два ряда и , они сходятся абсолютно к ; , тогда:

1)Ряд ;

2)Ряд , (где α – действительное число);

3)Пусть ряда – сходится условно, тогда оба ряда полученных только из положительных и только из отрицательных членов этого ряда расходятся;

4)Если ряд – сходится абсолютно и его сумма равна A, то при перестановке его членов ряд остается сходящимися и его сумма не меняется;

5)Если ряд – сходится условно, то наперед заданного числа C, существует перестановка членов ряда, такая, что сумма полученного ряда равна C.

29.Функциональные ряды. Область сходимости. Сходимость ряда .

Ряд (1)

Ряд (1) называется функциональным, т.к. его члены являются функциями от x. Давая x определить числовые значения мы получим различные числовые ряды, которые могут сходится или расходится.

Определение: Совокупность тех значений x, при которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости этого ряда.

Сумма ряда обозначается S(x) и она является функцией от (x).

– это ряд геометрической прогрессии, со знаменателем q = x. Ряд сходится , т.е. или - область сходимости. , .

30.Степенные ряды . Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда.

Среди функций рядов особую роль играют ряды, членами которых являются степенные функции.

Определение: Степенным рядом называется функция ряда вида: (1)

- постоянные числа, называются коэффициенты ряда.

- действительная переменная.

Рассмотрим ряд: (2)

Ряд (2) – степенной ряд со степенями , – некоторое число. Ряд (2) сводится к ряду (1) заменой: . Поэтому будем рассматривать только ряд (1). Выясним вопрос о сходимости ряда (1).

Теорема Абеля:

1.Если степенной ряд (1) сходится, при некотором значении , то абсолютно сходится при всяком значении x, для которого ;

2.Если степенной ряд (1) расходится, при некотором значении , то он расходится при всяком x удовлетворяющем неравенству ;

Поясним теоремы:

1.Если ряд (1) сходится в точке , то он абсолютно сходится в интервале ( ; ) с центром в точке O;

2.Если ряд расходится в точке , то он расходится в интервалах . Отметим это на числовой прямой:

Вывод: Область сходимости степенного ряда (1) является интервал конечный и бесконечный с центром в точке O или единственная точка O.

Положим , тогда интервал сходимости будет (-R,R). Число R называется радиусом сходимости степенного ряда, т.е. это такое число, что при всех степенной сходится абсолютно, а при всех расходится.

Если степенной ряд сходится лишь в одной точке , то считаем . Если ряд сходится при всех , то считаем . На концах интервала, т.е. при сходимость проверяется отдельно.

Для нахождения радиуса сходимости степенного ряда (1) можно использовать признак Даламбера или признак Коши. Допустим, что существует предел: . Тогда по признаку Даламбера имеем: , тогда ряд сходимости для всех . Таким образом, радиус сходимости можно найти: (3)

Аналогично рассуждаем, если применить признак Коши, тогда радиус: (4)

Замечание: Интервал сходимости степенного ряда (2) находят из неравенства и он имеет вид .