- •1. Вероятностные характеристики дискретных случайных величин
- •2. Вероятностные характеристики непрерывных случайных величин.
- •3. Формы представления законов распределения случайных величин.
- •4. Векторные случайные величины.
- •5. Типы случайных процессов.
- •6. Вероятностные характеристики случайных процессов.
- •7. Эргодическое свойство стационарных случайных процессов
- •8. Выбросы стационарных случайных процессов
- •9. Корреляционная функция и её основные свойства.
- •Свойства корреляционных функций
- •10. Экспериментальное определение корреляционных функций.
- •11. Спектральное разложение стационарных случайных процессов в непрерывный спектр дисперсий.
- •12. Свойства спектральной плотности.
- •13. Корреляционные функции и спектральные плотности типовых стационарных процессов.
- •14. Представление случайного процесса в виде канонического разложения. Интегральное каноническое представление случайного процесса. Полиномиальное представление случайного процесса.
- •Представление случайного процесса в виде канонического разложения Каноническое разложение корреляционной функции случайного процесса X(t):
- •Интегральное каноническое представление случайного процесса
- •Полиномиальное представление случайного процесса
- •15. Структура стохастической системы автоматического управления
- •16. Случайные процессы и возмущения в автоматических системах
- •17. Реакция динамической системы на случайное возмущение
- •18 Критерии точности системы
- •19 Характеристики выходных сигналов систем, заданных весовыми функциями
- •20 Корреляционный анализ систем, заданных дифференциальными уравнениями
- •21. Законы распределения выходных сигналов линейных систем (лс)
- •22. Определение установившихся систематических ошибок стационарных линейных систем (слс)
- •23. Определение установившейся дисперсии выходной переменной стационарной линейной системы (слс)
- •24. Критерии оптимальности автоматических систем.
- •25. Условие минимума среднеквадратичной ошибки.
- •26. Уравнение оптимальной линейной системы.
- •Определение весовой функции оптимальной линейной системы
- •Оптимальные системы, описываемые дифференциальными уравнениями
- •Дискретные случайные функции
- •30. Линейные операции над дискретными случайными функциями
- •Стационарные дискретные случайные процессы
- •32.Корреляционный анализ дискретных систем, заданных разностными уравнениями
- •33. Особенности вероятностного анализа нелинейных систем.
- •34. Линеаризация нелинейностей разложением в ряд.
- •35. Статистическая линеаризация нелинейностей.
- •36. Совместная гармоническая и статистическая линеаризация нелинейностей
- •37. Корреляционный анализ нелинейных систем, заданных дифференциальными уравнениями
- •38. Вероятностный анализ автоматических систем методом статистических испытаний
- •Марковские векторные процессы и последовательности
- •40. Уравнение Фоккера – Планка - Колмогорова
- •42. Анализ процесса срыва управления в автоматических системах
1. Вероятностные характеристики дискретных случайных величин
Для расчёта дискретной случайной величины необходимо иметь:
1) все возможные значения, которые она может принимать,
2) вероятность появления каждого из них.
Одной из простых характеристик определяющую случайную величину является среднее значение или математическое ожидание случайной величины. . (1.6) Основные свойства математического ожидания случайной величины следующие: 1. Для любых случайных величин среднее значение их суммы равно сумме средних значений этих величин: ; (1.7) 2. Среднее значение произведения случайных величин, независимых друг от друга, равно произведению средних значений этих величин: . (1.8)
Последняя формула не распространяется на общий случай любых случайных величин. В виде обобщения среднего значения введено понятие момента порядка m случайной величины x. (1.9) .Момент первого порядка есть среднее значение (математическое ожидание) случайной величины. Момент второго порядка – это средний квадрат случайной величины. .(1.10) Часто используют так называемое среднеквадратичное значение случайной величины, представляющее собой корень квадратный из среднего квадрата случайной величины: .(1.11) Иногда рассматриваются центрированное значение случайной величины , где – среднее значение. Тогда можно ввести понятие центрального момента m-го порядка (1.12)
Из формулы следует, что центральный момент первого порядка всегда равен нулю. Обратимся теперь к характеристикам рассеяния дискретной случайной величины.Если x – случайная величина, а – среднее значение этой величины, то величина есть отклонение случайной величины от ее среднего значения. Это отклонение является случайной величиной, как и сама величина x.
Средним отклонением называется среднее значение (математическое ожидание) абсолютной величины отклонения, т.е. . (1.13)
Дисперсией называется средний квадрат отклонения случайной величины от её среднего значения. Она совпадает с центральным моментом второго порядка . (1.14) Дисперсия может быть только положительным числом: . Корень квадратный из дисперсии называется среднеквадратичным отклонением случайной величины: . (1.15)
Укажем простейшие свойства среднеквадратичных отклонений.
1. При сложении независимых случайных величин (1.16)
дисперсии складываются: . (1.17)
Поэтому среднеквадратичное отклонение суммы независимых случайных величин
.(1.18) Эта формула часто применяется в вычислительной технике и автоматики для вычисления среднего квадрата ошибки.
2. Пусть имеется n случайных величин с одинаковыми средними значениями и с одинаковыми законами распределения. Тогда их среднеарифметическое (1.19) тоже будет случайной величиной с тем же самым средним значением , но среднеквадратичное отклонение его будет в раз меньше, чем для каждой из составляющих (в случае независимых случайных величин): (1.20) Например, если производится n измерений одной и той же физической величины, то их среднее арифметическое, хотя является случайной величиной, но всегда надежнее (имеет меньшее среднеквадратичное отклонение), чем каждое измерение в отдельности. Здесь случайные ошибки измерения в известной мере компенсируются. Но надо помнить, что систематические ошибки приборов при этом остаются в полной мере в составе среднего арифметического и никакой массовостью измерений скомпенсированы быть не могут.
3. Для n случайных величин, независимых, имеющих одно и то же среднеквадратичное значения , среднее арифметическое будет при достаточно большом как угодно мало отличатся от среднего значения (с вероятностью, как угодно близкой к единице). Замечание в скобках означает, что это практически достоверно, но не абсолютно, потому что среднее арифметическое есть все же случайная величина. Таким образом, при большом n и указанных условиях при (1.21).