16. Понятие напряженного состояния в точке. Тензор напряжения.

Напряженное состояние в точке называется совокупность напряжений, действующих по всевозможным площадкам, проведенным через эту точку.

При анализе простых типов деформации стержня был выявлен характер распределения напряжений в точку поперечного сечения.

Выделим поперечное сечение в окрестности т. А бесконечно малый элемент с размерностями dx, dy, dz. Напряженное состояние при переходе от точки к точке меняется незначительно. Можно предположить, что для однородного материала в пределах малого объема реализуется донорное напряженное состояние.

Если уменьшать размеры данного элемента получим напряженное состояние в точке. Если тело находится в равновесии, то любой объем тела так же должно находиться в равновесии под действием внутренних сил. Составим сумму моментов всех сил, действующих на выделенный элемент относительно Ох.

∑ _momx(F)= 0; ( ῖ_yzdxdy )dz –( ῖ_zydxdz )dy= 0

закон парности касательных

напряжений для объемного

напряженного состояния

Тензометр напряжений позволяет рассмотреть напряженное состояние в точке, является общим, чем понятие число вектор.

Тензор напряжений- совокупность напряжений, действующих на 3-х взаимноперпендикулярных площадках.

1 7. Определение напряжений на наклонной площадке. Условия на поверхности тела.

Решим задачу, связанную с определением напряжений на наклонной площадке через напряжения, действующие на 3-х взаимноперпендикулярных площадках. Выделим из тела тетраэдр. Площадь наклонной грани обозначим А. Нормаль к наклонной площадке с осями координат имеет направляющие косинусы l, m, n. Величина и направление вектора полного напряжения на наклонной площадке не известна. Разложим данный вектор на составляющие по координатным осям и обозначим x_ѵ, y_ѵ, z_ѵ. Предположим, что в каждой точке тела действуют объемные силы( сила тяжести, инерциальные нагрузки). Проекции объемной силы на оси координат обозначим X, Y, Z.

Дан элемент, выделенный из тела, должно находиться в равновесии. Спроецируем все силы, действующие на выделенный элемент на оси x, y, z.

A_x= Al

A_y= Am

A_z= An

∑X= 04; -A_xδ_x- ῖ_xzA_z- ῖ_xyA_y+ x_ѵA+ xdV= 0 xdV- можнопренебречь,т.к.оченьмало.

P² _ѵ= x²_ѵ+y²_ѵ+z²_ѵ

Разложим вектор малого напряжения на нормальное и касательное напряжение, действующее на наклонной плоскости.

P² _ѵ= δ²_ѵ+ ῖ²_ѵ

δ_ѵ= x_ѵl +y_ѵm +z_ѵn = δ_xl²+δ_ym²+δ_zn²+2ῖ_xylm + 2ῖ_xzln + 2ῖ_yzmn

ῖ²_ѵ= P²_ѵ- δ²_ѵ

Поставим задачу определить ῖ_ѵ, которое действует на наклонной площадке по направлению η. Данное напряжение η с осями координат имеют направляющие косинусы l₁, m₁, n₁. При этом надо учесть, что между направляющими косинусами направлений ѵ и η имеем соотношение :ll₁ + mm₁ + nn₁ =0

Cпроецируем x_ѵ, y_ѵ, z_ѵ на направлении η. Тогда:

ῖ_ѵ= x_ѵl₁ + y_ѵm₁ + z_ѵn₁.

Уравнение для определения x_ѵ, y_ѵ, z_ѵчерез δ_ij называется так же условие на поверхности тела.

δ_x= δ_xx = δ₁₁;ῖ_xy = δ_xy = δ₁₂ и т.д.

18. Исследование напряженного состояния в точке тела. Главной площадки и главные напряжения. Инварианты напряженного состояния. Три вида напряженного состояния.

Напряженным состоянием в точке называется совокупность напряжений, действующий по всевозможным площадкам, проведенным через эту точку.

При центральном растяжении (сжатии) напряженное состояние во всех точках одинаково. В общем случае оно не однородно, имеется от точки к точке, т.е. по любому сечению тела напряжения распределения неравномерно. В этом случае при изучении напряженного состояния в какой-либо точке мысленно выручают в окрестности этой точки паралелепипед со сторонами dx, dy, dz. Введу его малости можно считать, что напряженное состояние во всех его точках одинаково. Поэтому как по граням, так и по любым его сечениям напряжение считают распределенными равномерно. Эти предположения позволяют исследовать закон изменения напряжений по наклонным площадкам элементарного параллелепипеда.

В каждой точке напряженного тела существует такая система осей x, y, z, в которой касательные напряжения ῖ_xz, ῖ_zx, ῖ_xyравны 0. Такие оси называются главными осями. Соответствующие им взаимноперпендикулярные площадки называются главными площадками, а нормальные напряжения на них- главными напряжениями на них.

Нормаль к наклонной площадке с осями координат имеет направляющие косинусы l, m, n. Величина и направление вектора полного напряжения на наклонной площадке неизвестна. Разложим данный вектор на составляющие по координатным осям и обозначим их x_ѵ, y_ѵ, z_ѵ.

Для определения главных площадок и главных напряжений используем обратный метод.

Предположим, что нам известно положение данной площадки и нормальное напряжение возникшее на площадке (δ). Определим проекции нормального напряжения на оси координат.

К данной системе уравнений присоединим известное соотношение l²+ m²+ n² =1.

В результате получим 4 уравнения относительно 4-х неизвестных l, m, n, δ.

Система однородных уравнений не допускает тривиального решения l= m= n= 0. Система однородных уравнений имеет решение, отличное от нуля, когда определитель, с составленный при неизвестных (l, m, n) =0

Раскроем данный определитель. Получим кубическое уравнение относительно главного напряжения δ.

Решаем коническое уравнение найдем три корня – три главных напряжения, которые принято обозначать следующим образом:

Т₁≥δ₂≥δ₃ (в алгебраическом смысле)

Для определения положения главной площадки используем следующий подход. Берем значение главного напряжения δ₁. Полученное выражение δ₁подставляем в любые 2 уравнения системы и используем 4-ое уравнение. Решая данную систему найдем направляющие косинусы l₁, m₁, n₁для наклонной площадки по направлению η. δ₁ (l₁, m₁, n₁). Аналогично поступаем и для определения положения площадки ,на которую действут главное напряжение δ₂; δ₂(l₂, m₂, n₂). Аналогично для δ₃. Расчеты показывают, что главное напряжение действует на 3-х взаимноперпендикулярных площадках. При решении кубического уравнения могут быть следующие случаи: 1-δ₁≠ 0, δ₂≠0, δ₁≠ 0 ( объемное напряженное состояние). Тип напряженного состояния определяется через главные напряжения.

2- I₃=0;δ( δ²-I₁δ+ I₂)= 0; δ₁= 0; δ₂≠ 0; δ₃≠ 0 (плоское напряженное состояние)

В этом случае, когда одно главное напряжение = 0, а 2 других ≠ 0.

3- I₂= I₃ =0; δ²(δ- I₁)= 0 (линейное напряженное состояние)

Когда 2 главныхнапряжения =0

ВеличиныI₁, I₂, I₃называются инвариантами напряженного состояния. Они не зависят от ориентации элемента, выделенного в окрестности данной точки.