23. Оптимизация проектных решений. Параметрическая и структурная оптимизация. Критерии оптимальности.

1. Общие сведения о задаче оптимизации.

Под оптимизацией в общем случае понимают процесс улучшения какого либо из параметров объекта.

Цели оптимизации выражаются в критерии оптимальности – правиле предпочтения сравниваемых вариантов. Основу критерия оптимальности составляет целевая функция F(X), аргументами которой являются управляемые параметры (вектор X).

В постановку задачи могут также входить ограничения типа равенств Ψ(X) = 0 и неравенств φ(X) > 0.

Область пространства управляемых параметров, в которой выполняются заданные ограничения, называется допустимой областью X_Д. При наличии ограничений говорят об условной оптимизации, при отсутствии – о безусловной оптимизации.

Таким образом, формулировка задачи оптимизации при проектировании имеет вид: экстремизировать целевую функцию F(X) в области X_Д, при заданных ограничениях:

(1)

где X_Д = {X | Ψ(X) = 0, φ(X) > 0}.

Задача оптимизации в такой постановке есть задача математического программирования. Если F(X) и ограничения имеют некоторый специальный вид, то задача (1) относится к задачам одного из разделов математического программирования.

Если все функции линейны, имеем задачу линейного программирования. Если хотя бы одна из функций F(X), Ψ(X) или φ(X) нелинейная – задачу нелинейного программирования. Если все или часть параметров являются дискретными величинами – задачу дискретного программирования. Дискретное программирование является целочисленным, если X, принадлежит множеству целых чисел.

Оптимизация имеет место на всех уровнях проектирования РЭС: при разработке физической структуры компонентов, разработке функциональных и принципиальных схем, оптимизация на конструкторском уровне проектирования.

При оптимизации на схемотехническом уровне оптимизируемыми выходными параметрами могут являться задержка распространения сигнала, потребляемая мощность, коэффициент усиления, полоса пропускания и т.д. В качестве управляемых параметров обычно используют только параметры пассивных элементов – R, C, L. Как правило, это задачи нелинейного программирования с непрерывными переменными.

Оптимизация на конструкторском уровне связана с задачами коммутационно-монтажного проектирования: компоновкой, размещением, трассировкой. Эти задачи связаны с выбором структуры, то есть являются задачами структурной оптимизации, большинство из них может быть сведено к задачам целочисленного линейного программирования.

Таким образом, задачи оптимизации можно разделить на две группы:

1. задачи параметрической оптимизации, они формулируются в виде задач нелинейного программирования с нелинейными переменными;

2. задачи структурной оптимизации, которые, как правило, имеют комбинаторный характер (оптимальный вариант ищется в конечном множестве).

2. Критерии оптимальности.

2.1 Частные критерии оптимальности. В этом случае в качестве критерия оптимальности F(X) выбирается один из выходных параметров схемы и подвергается оптимизации (максимизации или минимизации). Например, схему можно оптимизировать по быстродействию, накладывая ограничения на потребляемую мощность, или наоборот.

Недостаток частого критерия – выбор только одного параметра для улучшения, на остальные лишь накладываются условия работоспособности.

2.2 Максиминный критерий. Критерии данного вида возникли в результате желания проектировщиков на каждом шаге оптимизации контролировать все выходные параметры, выбирать наихудший из них и именно его улучшать до тех пор, пока какой либо следующий выходной параметр не займет его место и не станет наихудшим, для этой цели используется критерий вида

F(x) = min [a_i f_i(x)],

где m – число выходных параметров; a_i – весовой коэффициент, f_i(x) – выходной параметр.

В этом случае говорят о максиминном критерии (требует максимизации).

Критерий вида , называется минимаксным (требует максимизации).

2.3 Критерии аддитивного типа (обобщенные). В них целевая функция формируется в результате сложения нормированных выходных параметров:

.

Если a_i – положительны, то f_i(x) – нужно максимизировать, если отрицательны, то минимизировать.

2.4 Мультипликативные критерии. В них целевая функция имеет вид:

.

Здесь в числителе перемножены все выходные параметры, требующие максимизации, а в знаменателе – минимизации.

Статистические критерии. В них целевой функцией является вероятность выполнения всех заданных условий работоспособности. Однако, их использование требует в процессе оптимизации многократного выполнения статистического анализа методом Монте-Крало, что крайне неэффективно по затратам машинного времени.