20. Математические модели пассивных и активных элементов.

4. Математические модели, основные требования.

Основными требованиями к математическим моделям (ММ) являются требования адекватности, точности, экономичности. Модель всегда лишь приближенно отражает некоторые свойства объекта.

Адекватность имеет место, если модель отражает заданные свойства объекта с приемлемой точностью. Под точностью понимают степень соответствия оценок одноименных свойств объекта и модели.

Адекватность оценивается перечнем отражаемых свойств и областями адекватности. Область адекватности – область в пространстве параметров, в пределах которой погрешности модели остаются в допустимых пределах.

Экономичность (вычислительная эффективность) определяется затратами ресурсов, требуемых для реализации модели (в нашем случае затраты на машинное время и память).

4.1 Математические модели пассивных элементов.

При моделировании схем на дискретных компонентах в качестве моделей пассивных элементов используются, как правило, константы, соответствующие их номиналам.

П ри моделировании интегральных схем или высокочастотных схем, нужно учитывать, что они представляют собой распределенные RC структуры:

В этом случае приходится учитывать зависимость параметров элементов от различных факторов: топологии кристалла, частоты работы схемы, температуры, топологии элемента и др.

4.2 Математические модели активных элементов.

4.2.1 Модель диода. Эквивалентная схема диода показана выше. Она содержит управляемый источник тока I_д, сопротивление диода R_д при прямом смещении, складывающееся из сопротивления областей базы диода, омических контактов и выводов, сопротивления утечки R_у, и емкости диода С_д.

Наиболее распространенной является модель диода, основанная на уравнениях Эберса-Молла для управляемого источника тока, которая учитывает зависимости емкостей от режима работы диода. Ток управляемого источника в этом случае описывается выражением:

(3.1)

где I₀ – тепловой ток; U – напряжение на p-n переходе; m – поправочный коэффициент, учитывающий отклонение реальной характеристики от идеальной теоретической характеристики p – n перехода; φ_Т - температурный потенциал. Для нормальной температуры φ_Т = 0,026 В.

Соответствующие выражения имеются также и для описания емкости диода. Таким образом, диод описывается системой уравнений, состоящей из уравнения для управляемого источника тока и уравнений для емкости диода.

4.2.2 Модель биполярного транзистора.

Н аибольшее распространение в программах СМ нашли модели биполярных транзисторов на основе уравнений Эберса-Молла или Гуммеля-Пуна. Ниже приведен один из вариантов модели Эберса-Молла для биполярного транзистора.

Назначения элементов эквивалентной схемы транзистора соответствуют аналогичным элементам модели диода. Таким образом, в соответствии с выбранной моделью транзистор также описывается системой уравнений для управляемых источников тока и емкостей переходов. Общее число параметров модели является достаточно большим, например, модель биполярного транзистора в системе моделирования Micro-Cap 7, описывается 52 параметрами.

Параметры моделей могут быть получены либо расчетным путем на основе анализа физико-топологической модели транзистора, либо получены экспериментально.