21. Парабола

Параболой назыв. геом. место точек M(x;y), равноудаленных от зад. т. F( ;0) и от данной прямой, назыв. директрисой параболы

Канонич. ур-е параболы м.б. получ. из опр-я:

F( ;0), , M(x,y), FM=MK,

=

Эл-ты параболы:

О- вершина параболы

ОХ – ось параболы

F( ;0) – фокус параболы

х= - –директриса параболы

p – фокальный параметр (расстояние от фокуса до директрисы или половина хорды, проходящ. ч-з фокус перпенд. оси ОХ)

22. Поверхн. 2-го пор. Поверхн. Вращ-я. Циллиндрич. Поверхн. Конич. Поверхн. 2-го пор.

Поверхн. 2-го пор. — геом-е место точек, декартовы прямоуг. коорд. кот. удовл. ур-ю вида

a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2a23yz + 2a13xz + 2a14x + 2a24y + 2a34z + a44 = 0 (1), в кот. по крайней мере один из коэф-ов a11, a22, a33, a12, a23, a13 отличен от 0.

Ф-ла (1) сост. из квадратичн. формы, линейн. формы и своб. члена.

Th. Ур-е (1) предст. собой геом-ки либо эллипсоид, либо параболоид, либо гиперболу, либо конус, либо цилиндр и ничего больше, если не счит. вырожденных случаев.

( ) – квадратичная форма n-го пор.

Пусть F(X,Y)=0 – нек. кривая плоск. Z=0. Будем вращ. эту кривую вокруг оси OX. В результ. получ. поверхн. вращ-я.

Пусть т. М1(Х,У,0) – произв. т. на кривой и при вращении она опишет окружн. радиуса R=|Y|.

Пусть т. М(х,у,z) – т. окружн (поверх-ти вращ-я).

При этом x=X, R=|Y|= , у=

Подставл. в ур-е F(X,Y)=0 найд. знач. X, Y, получ. ур-е поверх. вращ-я F( )=0

Замечание:

Если кривую вращ. вокруг оси ОУ, то, чтобы получ. ур-е поверхн. вращ-я, след. в ур-ии кривой F(X,Y)=0 оставить без измен. переем. Y, а перем. Х замен. на

F( )=0

Если ур-е f(x;y)=0 (в плоск. z=0) зад. нек. кривую, то это же ур-е в простр. явл. цилиндрич. поверхн-ю.

x²/a² + y²/b² =1 – эллиптич. цилиндр

x²/a² - y²/b² =1 – гиперболич. цилиндр

y²=2px – параболич. цилиндр

Если вращать прямую вокруг оси OZ получ. конич. поверхн.

z=±k*

z²=k²(x²+y²)

z²= - коническая поверхность

Обобщая, получ. z²= – эллиптич. коническая поверхн.

23. Эллипсоид

Будем вращать эллипс x²/a² + y²/b² =1 вокруг OУ.

Согл. ф-ле (F(± ;y)=0) получим след. ур-е поверхн.

– эллипсоид вращ-я, a,b –полуоси эллипсоида вращения.

Обобщая, получ. - ур-е эллипсоида, где все полуоси a,b,c-разные.

При a=b=c=R получ. ур-е сферы x²+y²+z²=R²

Если рассек. эллипсоид плоскостями, перпенд. осям коорд, то все ее сечения будут эллипсами

24. Гиперболоид (однополост., двуполост.)

Будем вращать гиперболу x²/a² - y²/b² =1 вокруг оси OZ

– однополостный гиперболоид вращения

Обобщая ур-е получ. однополостный эллиптический гиперболоид x²/a² + y²/b² – z²/c² =1

Сечение плоск. перп. оси OZ явл эллипсом , а сечение перпенд. осям OX и OУ явл. гиперболами.

Будем вращать ту же гиперболу x²/a² - y²/b² =1 вокруг оси ОУ

-двуполостный эллиптический гиперболоид

Сечения плоск-ми, перпенд. оси ОУ явл. эллипсами, а сечение плоск-ми, перпенд. осям ОХ и ОZ явл. гиперболами.