- •1. Понятие вектора и лин. Опер. Над вект-ми. Св-ва опер. Слож. Вект-ов и умнож. Вект-а на число (с док-вом)
- •2. Вычитание
- •2. Линейн. Зависимость векторов (опред-е, св-ва с док-вом)
- •3. Th о коллинеарн. Векторах. Th о компланарн. Веторах
- •4. Th о разлож. Вектора по некомпланарн. Векторам. Коорд. Вектора. Ортонормир. Базис.
- •5. Скалярн. Произв-е векторов. Применение скалярн. Произв-я
- •6. Векторное произв-е (опр-е, вычисл-е, св-ва)
- •7. Смешанное произв-е (опр-е, вычисл-е, св-ва)
- •8. Афинная сист. Коорд. На плоск. И в простр. Декарт. Сист. Корд. Деление отрезка в зад. Отношении
- •9. Ориентация плоскости
- •10. Угол м-у векторами на ориентир. Плоск-ти
- •1 Парал. Перенос
- •2 Поворот осей координат
- •3. Изменение нач. Корд. И поворот осей
- •12. Расст. М-у 2-мя т. Деление отрезка в данном отнош-ии. Прямая линия на плоск. Осн. Виды ур-я прямой на плоск.
- •13. Расст. От т. До прямой. Коорд. Т. Пересеч. Двух прямых. Угол м-у двумя прямыми. Услов. Паралл-ти и перп-ти прямых
- •14. Плоск. В пр-ве. Основн. Виды ур-й плоск. В пр-ве. Услов паралл-ти и перп-ти плоск.
- •15. Неполные ур-я плоск. Расст. От т. До плоск.
- •17. Прям. Линия в простр. Основн. Виды ур-я прямой линии в простр. Угол м-у прямыми. Услов. Паралл-ти и перп-ти 2-х прямых.
- •18. Прямая и плоск. Т. Пересеч. Прямой и плоск. Угол м-у прямой и плоск. Услов. Паралл-ти и перп-ти прямой и плоск.
- •19. Эллипс
- •20. Гипербола
- •21. Парабола
- •22. Поверхн. 2-го пор. Поверхн. Вращ-я. Циллиндрич. Поверхн. Конич. Поверхн. 2-го пор.
- •23. Эллипсоид
- •24. Гиперболоид (однополост., двуполост.)
- •25. Параболоиды (эллиптич., гиперболич.)
- •26. Цилиндры (эллиптич., гиперболич., параболич.)
7. Смешанное произв-е (опр-е, вычисл-е, св-ва)
Если вектор умнож. векторно на а результ. скалярно умнож. на , то получ. число назыв. смеш. произв-ем векторов , .
Тh. Смеш. произв-е некомпл. векторов , по абсол. величине равно объёму парал-пипеда, постр. на этих векторах, привед. к одному началу.
Д-во:
,
, если – прав.
, если - лев.
Следствие 1:
[ ]* =[ ]* = * , аоск. тройки векторов , , , имеют одинак. ориентацию (циклич. перестан. знака не меняет). Не циклич. перестан. в смеш. произв. привод.
Следствие 2 (критерий компланарности 3-х векторов):
Необх. и дост-ным услов. компланарности 3-х векторов явл. рав-во 0 их смеш. произв-я.
,
Th. Если 3 вектора (x1,y1,z1), (x2,y2,z2), (x3,y3,z3) зад. своими коорд., то смеш. произв. =
Д-во:
=
=
Следствие:
,
8. Афинная сист. Коорд. На плоск. И в простр. Декарт. Сист. Корд. Деление отрезка в зад. Отношении
В L (мн-во всех векторов, паралл. плоск-ти) сущ. беск. мн-во базисов.
Совокупн. нек. т. О и базисн. векторов. образ. сист. корд. О , назыв. аффинной сист. корд.
Коорд-ми т. М (x,y) назыв. числа x и y, такие, что (1), х – абсцисса т. М, у – ордината т.М
При выбр. сист. корд. кажд. т. М плоск имеет корд. x,y, причем, если т. M1(x1,y1), M2(x2,y2) различны, то пары чисел (x1,y1) (x2,y2), т.е. (x1 x2 или y1 y2), и наоборот, для кажд. упорядоч. пары x,y можно указ. т., имеющ. данные корд-ты.
, , то на осях корд. Ох и Оу сущ. соотв. т. М1, М2, такие, что , (2)
Из (1) (3)
Польз. рав-вами (2), строим т. М1, М2.
Проведя ч-з эти т. прямые, парал. корд. осям, находим их т. пересеч., кот согласно ф-ле (3) будет т. М
Пусть в кач-ве базиса выбр. 3 взаимно перп. единичн. вектора
, векторы - базисные орты
Получ. сист. корд. назыв. прямоуг. декарт. сист. коорд. Коорд. люб. вектора в этом базисе назыв. декарт. коорд. вектора.
Коорд. т. М в ДСК по осям ОХ,. OY, OZ назыв. соотв. абсциссой, ординатой и аппликатой.
Декартовы прямоуг. корд-ты x,y,z вектора равны проекциям этого вектора на оси OX, OY, OZ:
,
где - углы, кот. сост. вектор с корд. осями OX, OY, OZ, при этом назыв. направл. косинусами этого вектора.
– вектор единичн. длины и данного направл. вектора
,
Для направл. косинусов справ-во соотнош-е
Т. M(x,y) делит отрезок M1M2 в отношении λ, если
– коорд. т. М
Если М – середина М1М2
Замечание:
М1М2
9. Ориентация плоскости
10. Угол м-у векторами на ориентир. Плоск-ти
Пусть - ненулев. векторы. Отложим от произв. т. О векторы . Угол м-у лучами ОА и ОВ назыв. углом м-у векторами .
Пусть заданы в опр. порядке.
Если векторы не коллинеарны, то направл. (ориентированным) углом м-у векторами назыв. величина , если базис - правый, и , если левый.
Если векторы одинак. направл., то направл. угол м-у ними счит. равным 0, а если противоположн. направл., то
Т.о. для люб. ненулев. векторов -
Т.к. направл. угол =- , и если векторы не коллинеарны, то = - , =cos ,
Если векторы - произв., ненулев., то можно д-ть, что
= -
=cos
=
=cos
Th. Коорд-ты (а1,а2) произв. ненулев. вектора в ортонормир. правом базисе i,j вычисл. по ф-ле
Д-во:
Обе части скалярно умнож. на вектор .
, ( )
Следствие:
Единичн. вектор в ортонормир. базисе имеет координаты .
11. Ф-лы преобраз. корд. на плоск. Преобраз-е прямоуг. сист. корд. Полярные корд.