13. Расст. От т. До прямой. Коорд. Т. Пересеч. Двух прямых. Угол м-у двумя прямыми. Услов. Паралл-ти и перп-ти прямых
d=|δ| - модуль отклонения т. от прямой
расст. от М0(х0;у0)
до прямой
δ>0 - если М0 и нач. коорд-т по разные стороны от прямой
- коорд.
т. пересеч. прямых
Угол м-у двумя прямыми
L1: y=k1x+b1, L2: y=k2x+b2
=>
Если прямые зад. общими ур-ми:
L1: A1x+B1y+C1=0, L2: A2x+B2y+C2=0
Услов. паралл-ти и перп-ти прямых
Пусть L1: y=k1x+b1, L2: y=k2x+b2
L1 || L2 k1=k2,
L1 ┴ L2: k1k2=-1 (ϕ=90*)
Если L1: A1x+B1y+C1=0, L2: A2x+B2y+C2=0
L1┴L2 A1A2+B1B2=0
14. Плоск. В пр-ве. Основн. Виды ур-й плоск. В пр-ве. Услов паралл-ти и перп-ти плоск.
М0(x0,y0,z0) – фиксир. т. плоск., M(x,y,z) – текущ. т. плоск.,
(A,B,C),
– вектор нормали,
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 – ур-е плоск., проход. ч- з т. М(х0,у0,z0) и вектором нормали (A,B,C),
Ax+By+Cz+D=0 - общее ур-е плоскости
Следствие:
Если
2 ур-я A1x+B1y+C1z+D1=0
и A2x+B2y+C2z+D2=0
опред. одну и ту же плоск., то
Если
то плоск. парал.
Пусть
плоск. не прох. ч-з нач. корд. Ax+By+Cz+D=0,
,
Ax+By+Cz=-D,
,
– уравнение
пл-ти в отрезках,
где
,
,
– корд. т. пересеч. плоск. с коорд-ми
осями и равны отрезкам, отсекаемым
плоск-ю на коорд-х осях
Пусть
М(x,y,z)
– произв. т. плоск.
(x,y,z)
– коорд. радиус-вектора. P
– основн. перп., опущ. из нач. корд. на
плоск. |
|=p,
,
=1
– единичн. вектор нормали к плоск.
.
=>
=>
– норм. ур-е
плоск., где
cosα,
cosβ,
cosγ
– направл. косинусы нормали к плоск.,
р – расст-е от нач. коорд-т до плоск.
Приведение общ. ур-я к норм. виду
Т.к. и Ax+By+Cz+D=0 опред. одну и ту же плоск., то:
=>
– нормирующий
множитель
– нормальный вид
Замечание 1. Приведение ур-я плоск. к норм-му виду позв. узнать ее расположение отн-но сист. коорд.
Замечание
2. Введение
нормир-го множителя соотв-т замене
произв. вектора нормали
(A,B,C)
в ур-ии плоск. на единич. вектор нормали
=
=(cosα,cosβ,cosγ)
15. Неполные ур-я плоск. Расст. От т. До плоск.
Если в общ. ур-ии плоск. отсутств. какие-то слагаемые, то оно назыв. неполным.
D=0: Ax+By+Cz=0 плоск. проходит ч-з начало корд.
A=0:
By+Cz+D=0 =>
B=0:
Ax+Cz+D=0 =>
C=0:
Ax+Bx+D=0 =>
A=0,
B=0: Cz+D=0 =>
A=0,
C=0: By+D=0 =>
B=0,
C=0: Ax+D=0 =>
A=0,
B=0, D=0: Cz=0 =>
A=0,
С=0,
D=0: By=0 =>
B=0,
C=0, D=0: Ax=0 =>
Пусть
M1(x1,y1,z1),
(
)
Спроектируем т. М1 на нормаль
.
δ=pQ=OQ-Op,
p
– осн. перп., OQ – проекция вект.
на
,
Op=
=p
δ=(проекция вект.
на
)-p
проекция вект. на =x1cos +y1cosβ+z1cosγ
Отклонением δ т. М1(x1,y1,z1) от плоск. назыв. число, равное длине перпендикуляра опущ. из т. М1 на плоск., взятое со знаком “-“, если т. М1 и нач.корд. по одну сторону от плоск., и ”+” по разные.
Чтобы
найти δ т., нужно в лев. часть норм. ур-я
этой плоск. подставить корд. этой т:
Если плоскость зад. общим ур-ем, то:
Расстояние от т. М1(x1,y1,z1) до плоск.
16. Ур-е плоск, прох. ч-з 3 данных т. Угол м-у плоск.
M(x,y,z) – текущ. т. плоск, M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2), M3(x3,y3,z3)
Т.
М лежит в плоск. М1М2М3 только в том случ.,
если векторы М1М, М1М2, М1М3 – компл.
– ур-е плоск.,
прох. ч-з 3 т.
Пусть 2 плоск. зад. общими ур-ми:
Угол м-у плоск. опр-ся как угол м-у их норм. векторами n1 и n2:
