26Вероятность попадания случайной точки в полосу

Пользуясь интегр. ф-ей распределения с-мы СВ X и Y, вероятность попадания в полосу x₁<X<x₂ и Y<y равна

P(x₁<X<x₂,Y<y)=F(x₂;y)-F(x₁;y)

Вер-ть попадания СВ (x,y) в прямоугольник

Эту вероятность м. посчитать как разность вероятностей попадания в полосу, ограниченную линиями АВ и CD

P(x₁<X<x₂;y₁<Y<y₂)=

[F(x₂;y₂)-F(x₁;y₂)]-[F(x₂;y₁)-F(x₁;y₁)]

Двумерная плотность вероятностей f(x,y)(диф. ф-ия распр-ния)

Плотностью распределения вер-ей f(x,y) наз. 2-ая смешенная производная от F(x,y), т.е.

f(x,y)=∂²F(x,y)/(∂x∂y) для непр. СВ (x,y)

Если известна f(x,y), то F(x,y)= _-∞∫^x_-∞∫^yf(x,y)dxdy

из этой ф-лы следует

P[(x,y)€D]=_D∫∫f(x,y)dxdy Геометр. смысл: поверхность

св-ва f(x,y):

1)f(x,y)≥0 (по определению)

2) _-∞∫^∞_-∞∫^∞f(x,y)dxdy=1

27Условные з-ны распределения (XY) – лин. 2-мерного вектора.

Условной ф-ей распределения F(x/y₁,y₂) СВ Х относительно опр. зн-ний Y наз. условная вер-ть неравенств X<x относительно Y.

F(x/y₁,y₂)=P(X<x, y₁<Y<y₂)/P(y₁<Y<y₂) для дискр. СВ (x,y)

F(x/y₁,y₂)=_-∞∫^x_y1∫^y2f(x,y)dxdy/_y1∫^y2_-∞∫^+∞f(x,y)dxdy для непрер. СВ (x,y)

Условной плотностью распределения вероятностей СВ X при условии, что Y=y, называется отношение плотности распределения с-мы (x,y) к плотности распределения СВ Y.

f₁(x/y)=f(x,y)/f₂(y), f₂(y)≠0,

f₂(y)=_-∞∫^+∞f(x,y)dx

f₂(y/x)=f(x,y)/f₁(y), f₁(y)≠0,

f₁(x)=_-∞∫^+∞f(x,y)dy

28С-мы случайных величин

СВ X и Y наз. независимыми (входят в с-му), если X<x и Y<y независимы при любом x и y. СВ X и Y наз. зависимыми, если X<x и Y<y зависимы при нек-х значениях x и y.

Критерии независимости СВ, входящих в с-му:

1) Т. Для того, чтобы СВ X и Y, входящие в с-му, были независимы, необх. и дост., чтобы

F(x,y)=F₁(x)*F₂(y) (1)

Док-во:

-необходимость: 26

X и Y независимы, доказать (1)

P(X<x, Y<y)=P(X<x)*P(Y<y) =>

F(x,y)=F₁(x)*F₂(y), ч.т.д.

-достаточность:

Выполняется (1). Необх. док-ть, что X и Y - независимы

F(x,y)=F₁(x)*F₂(y)=>

P(X<x, Y<y)=P(X<x)*P(Y<y)=> X и Y – назавис., ч.т.д.

2) Т. Для того, чтобы СВ X и Y, входящие в с-му, были независимы, необх. и дост., чтобы

f(x,y)=f₁(x)*f₂(y) (2)

Док-во:

-необходимость

СВ X и Y – независ. Док-ть, что выполняется (2)

Воспользуемся предыдущей теоремой:

F(x,y)=F_1­(x)*F₂(y).

Продиффер-ем:

∂²F(x,y)/(∂x∂y)= ∂F₁(x)/∂x*∂F₂(y)/∂y

f(x,y)=f₁(x)*f₂(y), ч.т.д.

-достаточность

f(x,y)=f₁(x)*f₂(y), проинтегр-ем

_-∞∫^x_-∞∫^yf(x,y)dxdy=_-∞∫^xf₁(x)dx*_-∞∫^yf₂(y)dy

F(x,y)=F_1­(x)*F₂(y), ч.т.д.

29Числовые хар-ки 2-мерной св (с-мы св):

- мат. ожидание

- дисперсия

- моменты

Их определения аналогичны опр-ям СВ X

1) M(XY)={∑_i∑_jx_iy_jp_ij - для дискр.; {_∞∫^+∞_∞∫^+∞xyf(x,y)dxdy – для непрер.

2) Д(XY)=М[(x-m_x)²(y-m_y)²]=

{∑_i∑_j(x_i -m_x)²(y_j -m_y)²p_ij – для дискр.;

{ _∞∫^+∞_∞∫^+∞(x-m_x)²(y-m_y)²f(x,y)dxdy – для непрер.

3) Начальный моменты M_KS=M(x^Ky^S)= {∑_i∑_jx_i ^Ky_j ^Sp_ij – для дискр.; {_∞∫^+∞_∞∫^+∞x^Ky^Sf(x,y)dxdy – для непрер.

Центральный момент с-мы

µ_ks=М[(x-m_x)^K(y-m_y)^S]=

{∑_i∑_j(x_i -m_x)^K(y_j -m_y)^Sp_ij – для дискр.; {_∞∫^+∞_∞∫^+∞(x-m_x)^K(y-m_y)^Sf(x,y)dxdy – для непрер.

µ₁₁=М[(x-m_x)(y-m_y)]

Т. Если СВ X и Y независ., то µ₁₁=0.

Док-во: т.к. СВ X и Y независ., то

М[(x-m_x)(y-m_y)]=M(x-m_x)*M(y-m_y)=

(m_x-m_x)*(m_y-m_y)=0

Если СВ X и Y завис., то µ₁₁ наз. корреляционным моментом k_xy (моментом связи или ковариацией)

k_xy=µ₁₁=М[(x-m_x)(y-m_y)]

Значение момента – дает возможность установить связь между СВ.

Если корреляционный момент отсутствует (=0), то такие СВ наз. некоррелированными, если присутвует (≠0) – коррелированными.

Т. Корреляционный момент по модулю не превосходит √[Д(X)Д(Y)] или σ_xσ_y

|k_xy|≤√[Д(X)Д(Y)]=σ_xσ_y

Док-во:

Д(XY)=M[(x-m_x)²(y-x_y)²]

|k_xy|≤Д(XY)

M(ab)≤|a||b|

Д(XY)≤Д(X)*Д(Y)

k_xy≤√[Д(X)Д(Y)]

Коэф-т корреляции:

|r_xy|=|k_xy/(σ_xσ_y)|≤1

-1≤r_xy≤1

|r_xy|≈1 – связь сильная, r_xy≈0 – связь слабая

Корреляционный момент и коэф. Корреляции одновременно обращаются в нуль.