- •Определение ф-ии нескольких переменных.
- •Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
- •Экстремумы ф-ций двух переменных
- •Нахождение наиб. И наим. Знач. На компакте.
- •Ои как предел интегральных сумм.
- •Линейные диф-е уравн. N-го порядка.
- •Неоднородные линейные диф. Уравнения 2-го порядка.
- •Метод Лагранжа…
- •Система линейных диф. Уравнений…
- •33. Двойной интеграл. Основные понятия и определения.
- •34. Двойной интеграл и его геометрический и физический смыслы.
- •35. Основные свойства двойного интеграла.
- •36. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.
- •37. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.
- •38. Приложения двойного интеграла (объем тела, площадь плоской фигуры, масса плоской пластинки, статистические моменты, моменты инерции)
- •41.Замена переменных в тройном интеграле
- •42. Приложения тройного интеграла (объем, масса тела, статические моменты, моменты инерции тела).
- •49. Ротор и дивергенция векторного поля, их физ.Смысл и вычисление.
- •54. Признаки сходимости рядов с положительными членами. Признаки сравнения.
- •59. Функциональные ряды. Основные понятия
- •60. Теорема Абеля
- •61. Свойства степенных рядов
- •62. Ряды Тейлора и Маклорена. Достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора.
- •63) Разложение некоторых элементарных ф-ций в ряде Маклорена
- •64) Применение рядов к приближенным вычислениям значений ф-ции, определённых интегралов
- •65) Приближенное решение ду
- •66) Дискретное вероятностное пространство
- •67) Классическое вероятностное пространство
- •68) Теоремы сложения, умножения вероятностей. Несовместные, независимые события
- •69) Формулы полной вероятности и Байеса. Примеры
- •70)Аксиоматическое построение теории вероятностей. Следствия из аксиом
59. Функциональные ряды. Основные понятия
Ряд , члены которого являются функциями от переменной , называется функциональным.
При различных значениях из функционального ряда получаются различные числовые ряды, которые могут быть сходящимися или расходящимися.
Если ряд сходится то -наз. точкой сходимости
Если расходится то -наз. Точкой расходимости.
Совокупность числовых значений аргумента , при которых функциональный ряд сходится, наз. Его областью сходимости.
Очевидно, что в области сходимости функционального ряда его сумма является функцией от . Будем ее обозначать .
60. Теорема Абеля
Теорема. Если степенной ряд сходится при x = x1 , то он сходится и притом абсолютно для всех .
61. Свойства степенных рядов
1. Сумма S(x) степенного ряда
Является непрерывной функцией в интервале сходимости (-R;R)
2. Степенные ряды ,имеющие радиусы сходимости соотв-о , можно почленно складывать, вычитать и умножать. Радиус сходимости произведения, суммы и разности рядом не меньше чем меньшее из чисел
3. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать; при этом для ряда (пиши вместо скобки просто x)
При -R выполняется равенство
4. Степенной ряд можно почленно интегрировать на каждом отрезке, расположенном внутри интервала сходимости; при этом для ряда
(пиши вместо скобки просто x) при -R
62. Ряды Тейлора и Маклорена. Достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора.
Ряд Тейлора:
Ряд Тейлора в окрестности точки a имеет виды:
1) , где f(x) - функция, имеющая при х=а производные всех порядков. Rn - остаточный член в ряде Тейлора определяется выражением
2)
k-тый коэффициент (при хk) ряда определяется формулой
Теорема Маклорена (ряд Маклорена (=Макларена)) имеет вид:
1) , где f(x) - функция, имеющая при а=0 производные всех порядков. Rn - остаточный член в ряде Маклорена (Тейлора при а=0)определяется выражением
2)
k-тый коэффициент (при хk) ряда определяется формулой
63) Разложение некоторых элементарных ф-ций в ряде Маклорена
Разложение функции f(x)=ex в ряд Маклорена:
f(x)=f′(x)=f″(x)=…=f(n)(x)=…=ex.
f(0)=f′(0)=f″(0)=…=f(n)(0)=…=1.
Составим для функции f(x)=ex формально ряд Маклорена:
1+ .
Найдём области сходимости этого ряда.
при любых x, следовательно, областью сходимости ряда является промежуток (-∞;+∞). Заметим, что так как ряд сходится абсолютно, то при любых х и тем более при любых х. Так как f(n+1)(x)=ex и f(n+1)(с)=eс, то =ec =0. Таким образом, имеет место разложение при x (-∞;+∞)
ex=1+
64) Применение рядов к приближенным вычислениям значений ф-ции, определённых интегралов
Eсли подинтегральная функция раскладывается в степенной ряд, а пределы интегрирования принадлежат интервалу сходимости этого ряда, то возможно приближенное вычисление интеграла с наперед заданной точностью.
Вычислить интеграл с точностью до 0,001. Решение. Проверим, можем ли мы отбросить остаток после второго члена полученного ряда. . Следовательно, .