Линейные диф-е уравн. N-го порядка.
Частным случаем линейных однородных диф-ых уравн. являются ЛОДУ с постоянными коэф.
Пусть дано ЛОДУ 2-го порядка: y’’+p∙y’+q∙y=0
Для нахождения общего решения уравнения достаточно найти 2 его частных решения, образующих фундаментальную систему.
Будем искать
частные решения уравнения в виде y=ekx.
Диф-уя эту ф-ю 2 раза и подставляя
выражения для
,
в уравнеия, получим: k2∙ekx+p∙k∙ekx+q∙ekx=0
Получившееся ураснение наз. характеристическим ДУ.
Неоднородные линейные диф. Уравнения 2-го порядка.
Общим решением y уравнения является сумма его произвольного частного решения y* и общего решения ŷ=c1y1+c2y2 соответствующего однородного уравнения
y=y*+ ŷ
Метод Лагранжа…
y=y*+ ŷ
Частное решение y*уравнения можно найти, если известно общее решение ŷ соответствующего однородного уравнения, методом вариации произвольных постоянных.
Система линейных диф. Уравнений…
Системой ДУ наз. совокупность ДУ, каждое из которых содержит независимую переменную, искомые ф-ии и их производные. Решением системы наз. совокупность из n ф-ий y1, y2,…, yn, удовлетворяющих каждому из уравнений этой системы.
Если в системе все ф-ии
fi(x;
y1;
…, yn)
непрерывны вместе со всеми своими
частными производными по yi
в некот. обл. D
((n+1)-мерного
пространства), то в каждой т. M0(
этой области сущ., и при том единственное,
решение y1=φ1(x),
y2=φ2(x),
…, yn=φn(x)
системы, удовлетворяющее начальным
условиям.
33. Двойной интеграл. Основные понятия и определения.
ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ — обобщение ОИ на случай ф-ций 2-х переменных.
Пусть в замкнутой области D пл-ти Oxy задана непрер. z = f(x;y). Разобьем D на n частей Di, обозначим их площади через ∆Si, а диаметры — через di. В каждой Di выберем произв. т. Mi(xi;yi) и умножим значение f(xi;yi) в этой т. на ∆Si. Составим f(x1;y1)∆Si + f(x2;y2)∆Si + … + f(xn;yn)∆Sn = ∑ f(xi;yi)∆Si — интегральную сумму f(x;y). Рассм. lim, когда n → ∞, что maxdi → 0. Если этот lim Ǝ и не завис. от сп. разбиения D на части, ни от выбора точек в них, то он наз. ДВОЙНЫМ ИНТЕГРАЛОМ и опред. равенством:
ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ Ф-ЦИИ: если ф-ция z = f(x;y) непрер. в D, она интегрируема в этой области.
34. Двойной интеграл и его геометрический и физический смыслы.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ смысл: двойной интеграл от неотрицательной функции равен объему цилиндрического тела.
Сверху тело ограничено поверхностью z = f(x;y), снизу — замкнутой областью D пл-ти Оxy, с боков — цилиндрической пов-тью, ǁ Oz, направляющая — граница области D.
Найдем V: разобьем D на n областей Di, площади кот. = ∆Si. Рассм. столбики с основаниями Di, ограниченные сверху кусками поверхности z = f(x;y), обозначим их через ∆Vi. Получим V = ∑∆Vi. В каждой Di возьмем Mi(xi;yi) и заменим столбики прямыми цилиндрами, ∆Vi ≈ f(xi;yi)∆Si.
ФИЗИЧЕСКИЙ: масса плоской пластинки