- •Определение ф-ии нескольких переменных.
- •Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
- •Экстремумы ф-ций двух переменных
- •Нахождение наиб. И наим. Знач. На компакте.
- •Ои как предел интегральных сумм.
- •Линейные диф-е уравн. N-го порядка.
- •Неоднородные линейные диф. Уравнения 2-го порядка.
- •Метод Лагранжа…
- •Система линейных диф. Уравнений…
- •33. Двойной интеграл. Основные понятия и определения.
- •34. Двойной интеграл и его геометрический и физический смыслы.
- •35. Основные свойства двойного интеграла.
- •36. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.
- •37. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.
- •38. Приложения двойного интеграла (объем тела, площадь плоской фигуры, масса плоской пластинки, статистические моменты, моменты инерции)
- •41.Замена переменных в тройном интеграле
- •42. Приложения тройного интеграла (объем, масса тела, статические моменты, моменты инерции тела).
- •49. Ротор и дивергенция векторного поля, их физ.Смысл и вычисление.
- •54. Признаки сходимости рядов с положительными членами. Признаки сравнения.
- •59. Функциональные ряды. Основные понятия
- •60. Теорема Абеля
- •61. Свойства степенных рядов
- •62. Ряды Тейлора и Маклорена. Достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора.
- •63) Разложение некоторых элементарных ф-ций в ряде Маклорена
- •64) Применение рядов к приближенным вычислениям значений ф-ции, определённых интегралов
- •65) Приближенное решение ду
- •66) Дискретное вероятностное пространство
- •67) Классическое вероятностное пространство
- •68) Теоремы сложения, умножения вероятностей. Несовместные, независимые события
- •69) Формулы полной вероятности и Байеса. Примеры
- •70)Аксиоматическое построение теории вероятностей. Следствия из аксиом
35. Основные свойства двойного интеграла.
1.
2.
3.
4. Если f(x;y)≥0, . Если f(x;y)≥ φ(x;y),
5. т. к.
6. Если f(x;y) непрерывна в замкнутой D, площадь кот. S, то , где m и M — соотв. наиб. и наим. значения подынтегральной ф-ции в D.
7. Если f(x;y) непрерывна в замкнутой D, площадь кот. S, то в этой обл-ти Ǝ такая т. (x0;y0), что . Величина f(x0;y0) = … — среднее значение ф-ции f(x;y) в обл-ти D.
36. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.
Пусть требуется вычислить , где f(x;y)≥0, непрер. в D. Двойной интеграл выражает объем цилиндрического тела, ограниченного сверху z = f(x;y). Т. к. , S(x) — площадь сечения пл-тью, ﬩ оси Ox, a и b — ур-я пл-тей, огранич. данное тело. D — криволинейная трапеция, правильная относит. Oy, . Согласно методу параллельных сечений . Также объем цил. тела — двойной интеграл от f(x;y)≥0.
37. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.
x = rcosφ, y = rsinφ, dxdy = rdrdφ.
Внутренний интеграл берется при постоянном φ.
38. Приложения двойного интеграла (объем тела, площадь плоской фигуры, масса плоской пластинки, статистические моменты, моменты инерции)
ОБЪЕМ ТЕЛА:
ПЛОЩАДЬ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ:
МАССА ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ: . γ = γ(x;y) — плотность
СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОМЕНТЫ: и
МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ПЛ. ФИГУРЫ: и
МАССА ПЛОСКОЙ ПЛАСТИНКИ: γ = γ(x;y) — поверхностная плотность — непрер. ф-ция координат т. (x;y). Разобьем пластинку D на n Di, обозначим их площади через ∆Si, возьмем Mi(xi;yi) и найдем плотность в ней. Плотность в каждой т. Di const, найдем mi ≈ γ(x;y)∆Si. Т. к. m = ∑mi, m ≈ ∑γ(x;y)∆Si. n→∞ и maxdi→0.
39-40.
х,y,z-const.Отметим,что поскольку разбивать рассм-ую обл.интег.можно произв.образом,то разбивая ее коорд.пов-ми в декарт.сист.коорд.
Тр.интег.f(x,y,z)dxdydz
DcR
D простая в пространстве будем считать простой в направлении z,если она:
1)проец.на пл-ть Оxy
2)ограничена сверху z=z2 (x,y),снизу z=z1(x,y),(x,y)€D
По аналогии с предыд.пол-ем случай правильной обл.D(и по x,y,z прав),получим сведение к 1-му из 6 интег.
тр.интег.f(x,y,z)dxdydz=
41.Замена переменных в тройном интеграле
Пусть совершена подстановка x= , y= , z= . Если эти ф-ции имеют в некоторой области V* пространства Ouvw непрерывные частные производные и отличный от 0 определитель
,
То справедлива формула:
Здесь — определитель Якоби, или якобиан преобразования.
42. Приложения тройного интеграла (объем, масса тела, статические моменты, моменты инерции тела).
1. Объем тела
— в декартовых координатах
2. Масса тела
, при заданной плотности
3.Статические моменты (относительно координатных плоскостей)
4. Моменты инерции тела
43.кри 1-го рода,их выч-е и св-ва(неориентированная)
В нек.окр.дуги L задано нек.скаляр.поле u=u(M)(1)
u= (M)-лин.пл-ть (поле масс)
Задача о массе материал.дуги Lю
Для реш.ввод.скаляр.эл-т дуги.
dS= (2)
d=
dm= (M)dS(3)
интегрируем mL= (4)
Вычисление:Пусть кри L зад-ся парам-ки:
L: ,t€[t0,t1],где ф.x(t),y(t),z(t) предполаг-ся непрерывно диф-ми и в нуль не обращаются
Учитывая,что dS скаляр-й эл-т дуги,в этом случае,= = dt,t0‹t
Сведение кри1 к опред.интег.
, t0‹t1
св-ва:во многом аналог.св-вам опред.интег.В частности имеется св-во лин-ти,аддетивности.
После рассматривания этих св-в возник.вопр.,какой из кри более близкий родственник к опред.интег.
Замеч.:если криволин.интег.расс-ся по замкнутой дуге,то
44
45.приложение кри-1 рода
Длина кривой:
Площадь цилиндрической поверхности:
Масса кривой:
Статические моменты:
46.условия независимости КРИ-2 от пути интегрирования. Потенциал
Для того чтобы криволинейныйинт. не зависел от пути интегрирования в односвязной области D, в которой функции непрерывны вместе со своими частными производными, необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке этой области выполнялось условие:
47. Приложения КРИ II рода
Площадь плоской фигуры:
При этом кривая L обходится против часовой стрелки:
48. Основные понятия теории поля. Потенциальные векторные поля. Циркуляция
Полем называется область V пространства, в каждой точке которой определено значение некоторой величины. Если каждой точке М этой области соотв. Опред. Число U=U(M). Говорят, что в области определено (задано) скалярное поле(или функция точки).Если же каждой точке каждой точке М области пространства соотв. Некоторый вектор то говорят, что задано векторное поле(или векторная функция точки).если скалярное поле не зависит от времени- стационарное. Если меняется с течение времени –нестационарное.
Вектор определяющий векторно поле, можно рассм. как векторную функцию трех скалярных аргументов x,y,z:
Векторной линией поля наз. Линия, касательная к кот.в точке в каждой точке М имеет направление соотв-его ей вектора
Векторные линии поля:
Описываются системой дифференциальных уравнений вида:
=
Криволинейный интеграл по замкнутому контуру L наз. Циркуляцией поля вдоль L