Вопрос 2

Расстояние между двумя точками в координатах Лобачевского. Пусть даны две точки M₁(x₁,y₁) и M₂(x₂,y₂). Опустим из этих точек перпендикуляры M₁N₁ и M₂N₂ на ось X и M₁Q┴M₂N₂ (рис. 10). Введём обозначение: M₁Q=p, M₁M₂=r, M₂Q=q, N₂Q=l. Пусть y₂>y₁. Тогда из прямоугольного треугольника M₁M₂Q получаем на основании формулы (2)

но так как q=y₂–l, то

    Из четырёхугольника Ламберта N₂N­₁M₁Q на основании формулы (19) находим

на основании формулы (18)

    Подставив эти выражения в предыдущие равенства, получим

    Так как SinП(x₂–x₁)=SinП(x₁–x₂), то это выражение симметрично относительно координат обеих точек, и условие y₂>y₁ не является обязательным.

    Формулу (3.1) на основании равенства (12) можно привести к виду

    Формула расстояния между двумя точками значительно упрощается в бельтрамиевых координатах.

 Билет №9 1. Признаки равенства прямоугольных треугольников (доказательство всех признаков). 2. Окружность (определение). Формула для вычисления длины окружности (без вывода).Вывод формулы длины дуги окружности.

Вопрос 1

Так как в прямоугольном треугольнике угол между двумя катетами — прямой, а любые два прямых угла равны, то из первого признака равенства треугольников следует, что:          если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.          Из второго признака равенства треугольников следует, что:          если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.          Рассмотрим еще два признака равенства прямоугольных треугольников:          если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.          Доказательство. Из теоремы о сумме углов треугольника следует, что в этих треугольниках два других острых угла также равны, поэтому они равны по второму признаку равенства треугольников, т. е. по стороне (гипотенузе) и двум прилежащим к ней углам.          [П] Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.                                 Вопрос 2

Окружность – это геометрическое место точек, равноудалённых от данной.

Длина окружности.

Периметр любого правильного вписанного в окружность многоугольника является приближенным значением длины окружности. Чем больше число сторон такого многоугольника, тем точнее это приближенное значение, так как многоугольник при увеличении числа сторон все ближе и ближе «прилегает» к окружности. Точное значение длины окружности — это предел, к которому стремится периметр правильного вписанного в окружность многоугольника при неограниченном увеличении числа его сторон.

Выведем формулу, выражающую длину окружности через ее радиус. Пусть С и С' — длины окружностей радиусов К и К'. Впишем в каждую из них правильный n-угольник и обозначим через Р_n и Р'_n их периметры, а через ап и а их стороны. Используя формулу (2) (см. «Подробнее», «Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности.»), получаем:

Р_n = n•а_n = n•2Rsin180/n,

Р'_n =n•а’_n = n•2R’sin180/n.

Следовательно,

Pn/P’n = 2R/2R’ (1)

Это равенство справедливо при любом значении n. Будем теперь неограниченно увеличивать число n. Так как Р_n →С, Р' →C’ при n → ∞, то предел отношения P_n/P’_n равен С/С’. С другой стороны, в силу равенства (1) этот предел равен 2R/2R’. Таким образом, С/С’ = 2R/2R’. Из этого равенства следует, что С/2R = C’/2R’, т.е. отношение длины окружности к ее диаметру есть одно и то же число для всех окружностей. Это число принято обозначать греческой буквой π..

Из равенства С/2R = π получаем формулу для вычисления длины окружности радиуса R.

С = 2πR.

Выведем теперь формулу для вычисления длины l дуги окружности с градусной мерой α. Так как длина всей окружности равна 2πR, то длина дуги в 1˚ равна 2πR/360 = πR/180. Поэтому длина l выражается формулой

l = πR/180 • α

Билет №10 1. Признаки параллелограмма с доказательствами.

2. Построение треугольника по трем сторонам.