Вопрос 2

Уравнение окружности ω (A; R) имеет вид (x – a)² + (y – b)² = R², где a и b – координаты центра A окружности ω (A; R) .

Пусть задана окружность ω (A; R) на плоскости Oxy, где точка A, центр окружности – имеет координаты a и b. По определению окружности для любой точки B (x; y), лежащей на окружности ω (A; R), верно AB = R. Но в соответствии с теоремой 10.2  AB2 = (x – a)2 + (y – b)2. Таким образом, координаты x и y любой точки окружности ω (A; R)удовлетворяют уравнению (x – a)2 + (y – b)2 = R2. Обратно: любая точка B (x; y), координаты которой удовлетворяют уравнению, принадлежит окружности, так как расстояние от нее до точки A (a; b) равно R. Отсюда по определению данное уравнение – уравнение окружности ω (A; R).

Билет №20 1. Теорема Пифагора (прямая и обратная). 2. Правильный многоугольник (определение). Построение правильного четырехугольника, пятиугольника, шестиугольника.

Вопрос 1

Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

ПустьАВС – данный прямоугольны треугольник с прямым углом С. Проведём высоту СD. Из определения косинуса следует, что АВ*АD=АС² и АВ*ВD=ВС². Складывая эти равенства, получаем, что АС²+ВС²=АВ(АD+DВ)=АВ².Теорема доказана.

Обратная: если квадрат одной стороны треугольника, равен сумме квадратов других сторон, то треугольник – прямоугольный.

Вопрос 2

Пра́вильныймногоуго́льник — это выпуклый многоугольник, у которого все стороны между собой равны и все углы между собой равны.

Построение четырехугольника

Нужны линейка и циркуль.  Провести линию череззаданной центр окружности до пересечения с самой окружностью (2 точки получатся).  Развести ножки циркуля на расстояние больше радиуса (можно на диаметр) заданной окружности. Провести 2 новых окружности с центрами в полученных точках. Провести линию через точки пересечения новых окружностей друг с другом (будет перпендикуляр к исходной линии) до пересечения с исходной окружностью (ещё 2 точки получатся).  Соединить полученные 4 точки в четырёхугольник (квадрат).

Построение пятиугольника

П роведем окружность радиусом r. Из точки А циркулем проводим дугу радиуса AM до пересечения в точках В и С с окружностью. Соединяем В и С линией, которая пересечет горизонтальную ось в точке Е.  Затем из точки Е проводим дугу, которая пересечет горизонтальную линию в точке О. Описываем, наконец, из точки F дугу, которая пересечет окружность в точках Н и К. Отложив по окружности расстояние FO = FH = FK пять раз и соединив точки деления линиями, получим правильный пятиугольник.

Построение шестиугольника

Построение шестиугольника основано на том, что сторона его равна радиусу описанной окружности. Поэтому для построения доста­точно разделить окружность на шесть равных частей и соединить най­денные точки между собой.

Билет №21 1. Теорема синусов. 2. Построение прямой, параллельной данной.

Вопрос 1

Теорема  Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.    Доказательство.  Пусть есть Δ ABC со сторонами a, b, с и углами α, β, γ.  Докажем, что    Проведем из точки С высоту CD. Тогда из Δ ACD получим:    Если угол α тупой, то    Из Δ BCD получаем    Аналогично получаем