Вопрос 2

Разделить данный отрезок  AB на n равных частей.

Построение. Пусть [ AB ] – данный отрезок. Проведем из точки A луч a , не содержащий отрезок AB . Отложим от точки A на построенном луче равные отрезки: AA ₁, A ₁ A ₂, ... ,  A _n  – 1 A _n . Соединим точки A _n и B . Проведем через точки A ₁,  A ₂, ... ,  A _n  – 1 прямые, параллельные прямой A _n B (см. § 8.6). Они пересекают отрезокAB в точках B ₁,  B ₂, ... ,  B _n  – 1. Отрезки AB ₁,  B ₁ B ₂, ... ,  B _n  – 1 B – искомые отрезки.

Модель 8.10. Деление отрезка на равные части.

Равенство отрезков AB ₁  =  B ₁ B ₂  = ... =  B _n  – 1 B следует непосредственно из теоремы Фалеса.

 Рисунок 8.8.1.

Билет №3 1. Пропорциональные отрезки в круге. 2. Вывод формулы для вычисления суммы углов выпуклого многоугольника.

Вопрос 1

Теорема 1

Если через точку, лежащую внутри круга, проведены диаметр и хорда, то произведение отрезков хорды равно произведению отрезков диаметра. Требуется доказать:  .

 как вертикальные,   как вписанные.   и их сходственные стороны пропорциональны:  , откуда   .

Следствие 1

Для всех хорд, проходящих через данную точку внутри круга, произведение отрезков постоянно (   ).

Теорема 2

Если из точки, лежащей вне круга, проведены секущая и касательная, то произведение секущей на ее внешнюю часть равно квадрату касательной.  Дано: окружность,   и   — секущая и касательная. Требуется доказать:  .

 (   — об­щий и   , так как каждый из них измеряется  ). Против их равных углов лежат пары сходст­венных сторон:   и  ,   и  :  , откуда  .

Следствие 2

Для всех секущих, проходящих через данную точку вне круга, произведение секущей на ее внешнюю часть постоянно (   ).

Если из точки   окружности опущен перпендикуляр на диаметр, то перпендикуляр является средним пропорциональным между отрезками диаметра.  Дано:   .  Требуется доказать:  .

Если из точки   окружности опущен перпендикуляр на диаметр, то хорда, соединяющая точку Сс концом диаметра, есть среднее пропорциональное между диаметром и проекцией хорды на диаметр.  Дано:   .  Требуется доказать:  ,  .

Теоремы 3 и 4 являются следствиями теорем о средних пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике.

Вопрос 2

Сумма углов n-угольника равна 180°(n-2).

Доказательство проводится для случая выпуклого n-угольника

В случае n=3 смотреть Теорема о сумме углов треугольника.

Пусть   — данный выпуклый многоугольник и n > 3. Тогда проведем из одной вершины к противоположным вершинам n-3 диагонали:  . Так как многоугольник выпуклый, то эти диагонали разбивают его на n — 2 треугольника:  . Сумма углов многоугольника совпадает с суммой углов всех этих треугольников. Сумма углов в каждом треугольнике равна 180°, а число этих треугольников есть n-2. Следовательно, сумма углов n-угольника равна 180°(n-2). Теорема доказана.

Билет №4 1. Параллельные прямые(определение). Признаки параллельности двух прямых и доказательство всех. 2. Нахождение гипотенузы, катета и острого угла прямоугольного треугольника по данным его второму катету и острому углу.