4. Функции случайных величин

4.1. Математическое ожидание и дисперсия функции случайных величин

Пусть имеется СВ Х с заданным законом распределения. Другая СВ Y связана с СВ Х зависимостью , где – заданная функция. Последнее означает, что если СВ Х принимает некоторое значение х, то СВ Y принимает значение , т.е. значение СВ Y однозначно определяется значением СВ Х. Требуется найти математическое ожидание и дисперсию СВ Y.

Пусть Х – дискретная СВ с возможными значениями и их вероятностями . Поскольку , , то Y – дискретная СВ с возможными значениями , вероятности которых равны , а если какое-нибудь значение повторяется, то его вероятность равна сумме соответствующих вероятностей. Из формул для математического ожидания и дисперсии дискретной СВ получим

, .

Отметим, что значения в общем случае не упорядочены по возрастанию, а некоторые из них могут совпадать. Однако от перестановки и объединения слагаемых под знаком суммы значения и , очевидно, не изменяются.

Если Х – непрерывная СВ с плотностью вероятности , то заменяя суммирование интегрированием, а вероятности – элементами вероятности, можно получить формулы

, .

Замечание. Из всех приведённых формул видно, что для вычисления математического ожидания и дисперсии СВ Y не нужно находить её закон распределения, а достаточно знать только закон распределения СВ Х.

Аналогичные формулы существуют для математического ожидания и дисперсии функции двух СВ. Пусть СВ Z связана с СВ Х и Y зависимостью , где – заданная функция. Тогда если Х и Y – дискретные СВ с возможными значениями и и известны вероятности , , , то

,

.

Если Х и Y – непрерывные СВ и известна плотность , то

, .

Приведённые формулы имеют естественное обобщение на случай функции произвольного числа СВ.

4.2. Плотность вероятности монотонной функции непрерывной св. Плотность вероятности линейной функции нормально распределённой св

Теорема. Пусть Х – непрерывная СВ с плотностью вероятности , а – дифференцируемая и строго монотонная на R функция. Тогда плотность вероятности СВ определяется равенством .

Доказательство. Пусть дифференцируема и строго возрастает, тогда обратная функция тоже дифференцируема и строго возрастает, а значит, при любом событие равносильно событию . Следовательно, для функции распределения СВ Y имеем

,

где – функция распределения СВ Х. Дифференцируя полученное равенство по у, получим . Если строго убывает, то тоже строго убывает и при любом событие равносильно событию , т.е.

,

откуда . Поскольку неотрицательна, а производная возрастающей (убывающей) функции положительна (отрицательна), то в обоих случаях .

Пусть, далее, и , , т.е. Y – линейная функция нормально распределённой СВ. Используя утверждение приведённой теоремы, найдём плотность вероятности СВ Y. Имеем

, , .

Поскольку , то

.

Отсюда видно, что закон распределения линейной функции , нормально распределённого аргумента Х также является нормальным, причём , .