- •3. Случайные векторы
- •3.1. Понятие случайного вектора. Ряд распределения двумерного дискретного случайного вектора
- •3.2. Функция и плотность распределения случайного вектора
- •3.3. Зависимость и независимость св
- •3.4. Условные законы распределения св
- •3.5. Корреляционный момент и коэффициент корреляции двух св
- •3.6. Многомерное нормальное распределение
- •4. Функции случайных величин
- •4.1. Математическое ожидание и дисперсия функции случайных величин
- •4.2. Плотность вероятности монотонной функции непрерывной св. Плотность вероятности линейной функции нормально распределённой св
- •4.3. Распределения “хи-квадрат”, Стьюдента и Фишера
- •4.4. Основные свойства математического ожидания
- •4.5. Основные свойства дисперсии и коэффициента корреляции
- •5. Предельные теоремы
- •5.1. Закон больших чисел
- •5.2. Центральная предельная теорема
- •6. Случайные процессы
- •6.1. Понятие случайного процесса. Функции и плотности распределения случайного процесса
- •6.2. Математическое ожидание, дисперсия и автокорреляционная функция случайного процесса. Понятие стационарного случайного процесса
- •6.3. Дискретная цепь Маркова: основные понятия и свойства
3.3. Зависимость и независимость св
Пусть – двумерный случайный вектор. Случайные величины Х и Y называются независимыми, если выполняется равенство . В противном случае они называются зависимыми. Независимость СВ Х и Y означает, что при любых события и независимы.
Теорема 1. Непрерывные СВ Х и Y независимы в том и только в том случае, если выполняется равенство .
Доказательство. Пусть СВ Х и Y независимы, т.е. выполняется равенство . Дифференцируя это равенство сначала по х, затем по у, получим . Из полученного равенства и определений плотности распределения для одной СВ и для системы двух СВ следует, что .
Пусть теперь выполняется равенство . Интегрируя это равенство по х и у, получим . Из формул, выражающих функции распределения через плотности, следует, что , т.е. СВ Х и Y независимы.
Теорема 2. Дискретные СВ Х и Y независимы в том и только в том случае, если при любых выполняется равенство
.
Из определения независимости и приведённых теорем следует, что зная законы распределения независимых СВ Х и Y, всегда можно найти закон распределения вектора . Если же СВ Х и Y зависимы, то знания их законов распределения недостаточно, чтобы найти закон распределения вектора .
Рассмотрим, далее, случайный вектор . Случайные величины называются независимыми, если выполняется равенство , где – функция распределения СВ ( ). Необходимым и достаточным условием независимости непрерывных СВ является выполнение равенства
,
где – плотность распределения СВ ( ). Условием независимости дискретных СВ является выполнение равенства
при любых .
3.4. Условные законы распределения св
Для того чтобы полностью охарактеризовать с вероятностной точки зрения случайный вектор , недостаточно знать закон распределения каждой из СВ Х и Y: нужно знать зависимость между этими СВ. Эта зависимость может быть описана с помощью условных законов распределения.
Рассмотрим дискретный случайный вектор . Если у – одно из возможных значений СВ Y, то условным рядом распределения СВ Х относительно значения будем называть совокупность условных вероятностей , , где – возможные значения СВ Х, упорядоченные по возрастанию. Аналогично определяется условный ряд распределения СВ Y относительно значения , где х – одно из возможных значений СВ Х. Если – возможные значения СВ Y, то в силу теоремы умножения вероятностей справедливы равенства
, , ,
где , и , . Из этих равенств вытекают формулы:
, , , . (1)
Пусть – произвольный случайный вектор, а у – одно из возможных значений СВ Y. Тогда условной функцией распределения СВ Х относительно значения называется функция
,
если Y – дискретная СВ, и функция
,
если Y – непрерывная СВ. Аналогично определяется .
Пусть, далее, – непрерывный случайный вектор и у – одно из возможных значений СВ Y. Тогда условной плотностью распределения СВ Х относительно значения называется функция . Аналогично определяется . Справедливы равенства , называемые формулой умножения плотностей распределения. Из этой формулы вытекают равенства
, . (2)
Из равенств (1) и (2) видно, что зная закон распределения вектора в виде ряда или плотности, всегда можно найти условные законы распределения СВ Х и Y. Из теорем о независимости двух СВ следует, что для независимых дискретных СВ Х и Y с возможными значениями и справедливы равенства
, , , ,
а для независимых непрерывных СВ Х и Y – равенства и . Кроме этого, для независимых СВ Х и Y имеет место и .
Задача. Плотность распределения непрерывного случайного вектора внутри квадрата , задана формулой , вне квадрата . Найти плотности распределения СВ Х и Y и их условные плотности распределения.
Решение. Из формулы, выражающей через , имеем
,
и , . Аналогично получим , и , .
Из формул для условных плотностей находим
, и , ;
, и , .
Условная плотность определена только при , условная плотность – при .