3.5. Корреляционный момент и коэффициент корреляции двух св
Пусть – двумерный случайный вектор. Тогда число
называется корреляционным моментом СВ
Х и Y. Для дискретных СВ Х и
Y с возможными значениями
и
корреляционный момент определяется по
формуле
,
где
,
,
,
для непрерывных СВ – по формуле
,
где
– плотность распределения вектора
.
Размерность
совпадает с произведением размерностей
СВ Х и Y.
Корреляционный момент служит для
характеристики рассеивания величин Х
и Y и вероятностной зависимости
между ними. Если
,
то величины Х и Y называются
положительно коррелированными, если
– отрицательно коррелированными, если
– некоррелированными. Положительная
(отрицательная) корреляция означает,
что при возрастании одной из СВ другая
имеет тенденцию в среднем возрастать
(убывать). Некоррелированность означает,
что при возрастании одной из СВ другая
не имеет тенденции к возрастанию или
убыванию.
Теорема. Если СВ Х и Y независимы, то они некоррелированы.
Доказательство. Для независимых дискретных СВ Х и Y имеем
.
Для непрерывных СВ имеем
.
В обоих случаях получено произведение
первых центральных моментов СВ Х и
Y, каждый из которых
равен нулю, т.е.
.
Замечание. Обратное утверждение в общем случае неверно: из некоррелированности двух СВ не следует их независимость.
На практике для характеристики
вероятностной зависимости СВ Х и Y
используется также коэффициент корреляции
(нормированный корреляционный момент),
который определяется формулой
,
где
и
– средние квадратические отклонения
СВ Х и Y. Коэффициент корреляции
является безразмерной величиной, а его
знак совпадает со знаком корреляционного
момента.
Рассмотрим, далее, случайный вектор
и введём обозначение
.
Тогда матрица
называется корреляционной матрицей
этого вектора. Её элементы обладают
свойствами
,
и
,
,
.
Аналогичным образом можно построить
нормированную корреляционную матрицу
случайного вектора
.
Задача. Ряд распределения дискретного случайного вектора задан в виде таблицы:
-
Y
Х
1
2
3
0
0,3
0,4
0
1
0
0,2
0,1
Найти вероятности отдельных значений, математические ожидания и корреляционный момент СВ Х и Y.
Решение.
,
,
,
,
;
,
;
3.6. Многомерное нормальное распределение
Непрерывный случайный вектор
называется распределённым по нормальному
закону с параметрами
,
и
,
если его плотность вероятности задаётся
формулой
.
Можно показать, что в этом случае
,
и
.
Если СВ Х и Y
некоррелированы, т.е.
,
то данная формула принимает вид
,
где
и
– плотности распределения СВ Х и Y
соответственно. Отсюда следует, что
некоррелированные СВ Х и Y
независимы. Таким образом, нормально
распределённые СВ Х и Y
независимы в том и только в том случае,
если они некоррелированы.
Рассмотрим непрерывный случайный вектор
и введём следующие обозначения:
,
;
– определитель корреляционной матрицы
;
–
матрица, обратная к матрице К. Данный
вектор называется распределённым по
нормальному закону, если его плотность
вероятности выражается формулой
.
При
из этой формулы можно получить приведённое
выше выражение для плотности вероятности
нормально распределённого случайного
вектора
.