Дда для несвязанных выборок.

Назначение метода. Данный вариант ДД применяется в тех случаях, когда исследуется одновременное действие двух факторов на разные выборки, т.е. когда разные выборки испытуемых оказываются под воздействием разных сочетаний двух факторов.

Описание метода. Суть метода остаётся прежней, как и в ОДА, но появляется большое количество гипотез и увеличивается в объеме число шагов в алгоритме.

Рекомендуется перед началом алгоритма построить специальную таблицу, отражающую весь дисперсионный комплекс.

Подробности рассмотрим на примере.

Пример. Четырём группам испытуемых предъявлялись списки из 10 слов: группе 1–короткие слова с большой скоростью; группе 2 – короткие слова с медленной скоростью; группе 3–длинные слова с большой скоростью; группе 4–длинные слова с медленной скоростью. В каждой группе было по 4 испытуемых, всего N = 16. Предсказывалось, что между факторами длины слов и скоростью их предъявления будет наблюдаться значимое взаимодействие: при большой скорости предъявления лучше будут запоминаться короткие слова, а при медленной скорости длинные слова, результаты экспериментов представлены в таблице 9.

Таблица 9. Количество воспроизведенных слов при разной длине слов и разной скорости их предъявления.

Переменная (фактор) В Скорость предъявления	Переменная (фактор) А – длина слов				Переменных В (Тв)
	А1 – короткие слова		А2 – длинные слова
В1 (большая скорость)	9 8 6 7	30	5 3 3 4	15	45
В2 (малая скорость)	4 3 3 5	15	7 5 6 7	25	40
Суммы по переменной А (ТА)					85
		45		40

Гипотезы:

1 комплект гипотез. Н₀ : Различие в объеме, воспроизведение слов, обусловленные действием фактора А, являются не более выраженными, чем случайные различия между показателями.

Н₁: Различие в объеме, воспроизведение слов, обусловленные действием фактора А, являются более выраженными, чем случайные различия между показателями.

2 комплект гипотез. Н₀ : Различие в объёме воспроизведения слов, обусловленные действием фактора В, являются не более выраженными, чем случайные различия между показателями.

Н₁ : Различие в объёме воспроизведения слов, обусловленные действием фактора В, являются более выраженными, чем случайные различия между показателями.

3 Комплект гипотез. Н₀ : Влияние фактора А на объём воспроизведения слов одинаково при разных градациях фактора В, и наоборот.

Н₁ : Влияние фактора А на объём воспроизведения слов неодинаково при разных градациях фактора В, и наоборот.

Используя экспериментальные значения, представленные в таблице 9, установим некоторые величины, которые будут необходимы для расчета критериев F в двухфакторном дисперсионном анализе для несвязанных выборок.

Таблица 10. Величины, необходимые для расчёта критериев F в ДДА для несвязанных выборок.

Обозначение	Расшифровка обозначения	Экспериментальное значение
ТА	Сумма по градациям фактора А	45; 40
ТВ	Сумма по градациям фактора В	45;40
TAB	Суммы по «ячейкам»	30; 15; 15; 25
n	Количество испытуемых в каждой ячейке	n = 4
а	Количество градаций фактора А	а = 2
b	Количество градаций фактора В	b = 2

Алгоритм расчёта ДДА для несвязанных выборок.

1. ;

2. ;

3.

4. 9² + 8² + … + 6² + 7² - =55.43;

5. SS_сл = SS_общ - SS_A - SS_B - SS_AB = 55,43 – 1,56 – 1,56 – 36,06 = 13,25;

6. df_A = a – 1 = 2 – 1 = 1, df_B = b – 1 = 2 – 1 = 1, df_AB = df_A * df_B = 1*1 = 1,

df_общ = N–1 =16-1 =15, df_сл = df_общ - df_A - df_B - df_AB =15–1–1–1=12;

7. MS_А= SS_А/df _А = ;МS_В = SS_В/df _В = ; MS_АВ= SS_АВ/df _АВ = ; SS_сл/df _сл = =1,104.

8. F_А = MS_А / MS_сл = > F_А (1.12)= ;

F_В = MS_В / MS_В = > F_В (1.12)= ;

F_АВ = MS_АВ / MS_сл = > F_АВ (1.12)= ;

9. Определить критические значения F по таблице.

На точке пересечения df₁ = 1, df₂ = 12

F_кр (1;12) = 9.33

1. F эмп_А < Fкр - > Н₀ принимается

F эмп_В < Fкр - > H₀ принимается

F эмп_AB > Fкр - > H₀ отклоняется

Вывод: Н₀ принимается в комплектах гипотез 1 и 2. Различия в объёме воспроизведения слов, обусловленные в отдельности факторами А и В, не являются более выраженными, чем случайные различия между показателями. Н₀ отвергается для взаимодействия факторов (3 комплект). Принимается Н_1. Влияние фактора А на объем воспроизведения слов различно при разных градациях фактора В, и наоборот при .

Таким образом, факторы длины слов и скорости их предъявления в отдельности не оказывают значимого действия на объем воспроизведения. Значимым оказывается именно взаимодействие факторов: короткие слова лучше запоминаются при быстрой скорости предъявления, а длинные при медленной скорости предъявления.

Замечания. Ограничения ДДА для несвязанных выборок (дополнительно к выше изложенным).

1. У каждого фактора должно быть не менее двух градаций.

2. В каждой ячейке комплекса должно быть не менее двух наблюдаемых значений для выявления взаимодействия градаций.

3. Факторы, должны быть независимыми. (В рассмотренном примере скорость предъявления слов и их длине – внешне независимые факторы).

Независимость факторов может быть подтверждена отсутствием корреляционной связи между переменными, выступающими в качестве факторов.

ДДА для связанных выборок.

Назначение метода. Данный вариант двухфакторного дисперсионного анализа применяется в тех случаях, когда исследуется действие двух факторов на одну и ту же выборку испытуемых.

Описание метода. В данной модели ДДА проверяются 4 гипотезы: о влиянии фактора А; о влиянии фактора В, о влиянии взаимодействия факторов А и В и о влиянии фактора индивидуальных различий.

Рассмотрим более подробно на примере.

Пример. В выборке студентов определялась скорость решения задач утром и вечером (производительность). На первом этапе эксперимент проводился индивидуально, а на втором в группе. Можно ли считать, что фактор присутствия в группе каким-то образом влияет на скорость решения задач. Подтверждается ли предположение о том, что правая рука более «социальна».

Таблица 11. Скорость решения задач. (Количество решенных задач утром и вечером в течение 3х часов.)

Код исп	Индивидуально(А1)			В группе (А2)
	Правая рука В1	Левая рука В2		Правая рука (В1)	Левая рука (В2)
1 Л-в	11	10	21	15	10	25	46
2 С-с	13	11	24	14	10	24	48
3 С-в	12	8	20	8	5	13	33
4 К-в	9	10	19	7	8	15	34
Сумма	45	39	84	44	33	77	1611

Таблица 12. Величины, необходимые для расчёта критериев F в ДДА для связанных выборок.

Обозначения	Расшифровка обозначений	Экспериментальные значения
ТА	Суммы по градациям фактора А (А1 – индивидуальное, А2 – групповое)	ТА1 = 84 ТА2 = 77
ТВ	Суммы по градациям фактора В (В1 – правой руке, В2 – левой руке)	ТВ1 = 89 ТВ2 = 72
ТИ	Индивидуальные суммы по 4-м значениям испытуемого	Т 1 = 46 Т 2 = 48 Т 3 = 33 Т 4 = 34
ТАВ	Суммы по ячейкам	45; 39; 44; 33
ТА	Индивидуальные суммы по градациям фактора А	По А1: 21; 24; 20; 19 По А2: 25; 24; 13; 15
ТВ	Индивидуальные суммы по градациям фактора В.	По В1: 11+15=26 13+14=27 12+8=16 9+7=16 По В2: 10+10=20 11+10=21 8+5=13 10+8=18

а – число градаций фактора А, а = 2

b – число градаций фактора В, b = 2

n – число испытуемых (объём выборки), n = 4

N – общее количество индивидуальных значений N = 16

Последовательность операций в ДДА для связанных выборок. Алгоритм расчёта ДДА для связанных выборок.

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5.

6. ;

7. ;

8. SS_ABИ = SS_общ – SS_A – SS_B – SS_И – SS_AB – SS_AИ –SS_BИ=

=102.9 –3.06–18.06–46.19–1.56–17.19–13.19=3.69;

9. df_A = a–1 =2–1 =1, df_B =b–1 =2–1 =1, df_И =n–1=4–1=3,

df_AB =df_A*df_B =1*1 =1, df_AИ =df_A*df_И =1*3 =3, df_BИ =df_B*df_И =1*3 =3,

df_ABИ =df_A*df_B*df_И =1*1*3=3, df_общ=N–1 =1–1=15;

10. MS_A = = , MS_B = = ,

MS_И = = =15.4, MS_AB = = =1.56,

MS_AИ = = =5.73, MS_BИ = = =4.4,

MS_ABИ = = =1.23;

11. F_A = =F_A (1.3 )= =0.53, F_B = =F_B (1.3)= =4.1,

F_И = =F_И (1.3) = =12.52;

12. F_кр (1.3) = 34.12, и 10,13 при ,

F_кр (3.3) = 29.46, и 9.28при ;

13. F_A F_кр => H_0A – принимается; F_B F_кр => H_0B - принимается;

F_H F_кр => H_0И (для )

F_AB F_кр => H_0ИAB – отклоняется.

Вывод. Влияние факторов А и В, как каждого в отдельности, так и в их взаимодействии незначимо. Однако, фактор индивидуальных различий между испытуемыми F_И оказался значимым ()

Замечание 1. Критерий F для факторов А и В вычисляется как отношение вариативности между градациями факторов к вариативности между испытуемыми в этих градациях.

Замечание 2. Несмотря на название, дисперсионный анализ выявляет влияние фактора не на рассеивание индивидуальных значений, а на среднюю их величину.

Ограничение двухфакторного дисперсионного анализа для связанных выборок.

Все ограничения такие же, как и в модели для несвязанных выборок, с одним уточнением. Все испытуемые должны пройти все сочетания градаций двух факторов. Этим достигается равномерность комплекса.

Итак, мы убедились, что двухфакторный дисперсионный анализ действительно позволяет оценить влияние двух факторов в их взаимодействии. Влияние одного фактора может оказаться различным при разных уровнях другого фактора, иногда различным вплоть до противоположности. Дисперсионный анализ позволяет доказать, что влияние индивидуальных различий может оказаться сильнее экспериментальных или иных факторов.