1. Отделение корней:

Под процедурой «Отделения корней» будем понимать процедуру нахождения одного или нескольких отрезков, содержащих строго по одному корню. Будем считать, что корень отделен, если найден отрезок [a,b], для которого выполнены два условия отделимости:

1) f(a)*f(b)<0

2) f ’(x) сохраняет знак в [a,b].

Формализованной процедуры отделения корней не существует и в каждом конкретном случае необходим индивидуальный подход.

Если удастся аналитически найти корни уравнения, т.е. f ’(x)=0. То эти корни, расположив их по возрастанию на оси Х, позволяет найти несколько отрезков, внутри каждого из которых будет выполнено 2-ое условие отделимости. Тогда в качестве решения поставленной задачи отделения корней следует выбрать те из найденных отрезков, для которых будет выполнено 1-ое условие отделимости, что определяется непосредственным вычислением. В качестве левой границы первого отрезка следует выбрать предел:

, в качестве правой границы последнего отрезка следует выбрать предел

.

2. Графическое отделение корней.

Корни можно отделить, если удается построить схему графика функции y=f(x). С помощью производной и визуально найти отрезки.

Если уравнение 1 удается представить в виде:

(3) , то также корни могут быть отделены визуально.

cos x-5x=0

cos x=5x

3. Уточнение корней:

Под уточнением корней понимают процедуру поиска приближенных решений с заданной точностью ε.

4. Метод половинного деления (метод дихотомии).

Будем считать, что 1 этап решения уже выполнен, т.е. найден отрезок (отрезки), содержащий один корень. Пусть это отрезок [a,b]. Найдем середину отрезка [a,b]:

. Если окажется, что , то - случайно найденный корень. Если

, то получили 2 отрезка [a, C₀] и [C₀, b]. Заметим, что внутри вновь найденных отрезков всегда будет выполняться 2-ое условие отделимости. В качестве дальнейшего использования выберем тот из двух полученных отрезков, для которого выполнено 1-ое условие отделимости. Границы выбранного отрезка обозначим как [a₁,b₁], причем длина этого отрезка d₁=[b₁-a₁]. Вновь найдем середину полученного отрезка [a₁,b₁] : если

, то С₁ – случайно найденный корень. Если , то из 2 полученных отрезков

[a₁, C₁] и [C₁, b₁] выберем тот, для которого выполнено 1-ое условие отделимости. Границы выбранного отрезка обозначим как [a₂,b₂], d₂=[b₂-a₂]. Рассуждая аналогично на шаге n получим:

, если , С_n случайный корень.

, [a_n , C_n] и [C_n, b_n.

Обозначим [a_n+1,b_n+1], d_n+1=[b_n+1-a_n+1]. Описанную выше пошаговую (итерационную) процедуру следует прекратить на шаге к при выполнении неравенства:

(4) , в качестве приближенного решения задачи выбрать произвольную точку отрезка [a_к,b_к].

5. Метод хорд.

Пусть необходимо определить корни уравнения f(x)=0 (1) с точностью ε. Будем считать, что первый этап решения задачи выполнен, т.е. найден отрезок (отрезки), содержащий строго один корень. При этом выполнены 2 условия:

1) f(a)*f(b)<0

2) f ’(x) сохраняет знак в [a,b].

Всегда можно допустить выполнение условия:

3) f ’’(x) сохраняет знак в [a,b].

Действительно пусть условие (3) не выполнено и допустим внутри отрезка [a,b] находится одна точка перегиба х₀. Точка перегиба х₀ разобьет [a,b] на два отрезка [a, х₀] [х₀,b]. Очевидно, что условия 2, 3 для полученных отрезков выполнены, поэтому для дальнейшего исследования необходимо выбрать отрезок, для которого выполнено условие отделимости 1.

Через точки M, N проведем хорду (отрезок прямой) и в качестве первого приближения выберем абсциссу точки пересечения хорды и отрезка [a,b]. Уравнение прямой:

(2)

Т.к. точка пересечения лежит одновременно на оси Ох и хорде, то координаты этой точки пересечения удовлетворяют уравнению 2. Откуда найдем:

Из последнего уравнения найдем первое приближение:

Из точки х₁ опустим перпендикуляр на график функции y=f(x), в результате чего найдем точку M₁, N вновь проведем хорду, и в качестве второго приближения, выберем точку пересечения хорды с осью Ох.

Найдем абсциссу точки пересечения:

;

Рассуждая аналогично, на шаге и получим:

(3)

(3)- расчетная формула метода хорд. Использование соотношения (3) позволяет найти числовую последовательность: х₁, х₂, …,х_n, которая при неограниченном увеличении n стремится к точному корню ξ, оставаясь все время слева от него в рассматриваемом случае.