- •Лабораторная работа № 1 Численное решение нелинейных уравнений
- •Общие теоретические основы методов
- •Метод дихотомии Теоретические основы метода
- •2. Сохраняет знак в [a, b].
- •Комбинированный метод хорд и касательных Теоретические основы метода
- •2. Сохраняет знак в [a, b].
- •3. Сохраняет знак в [a, b].
- •Метод итераций Теоретические основы метода
- •Лабораторная работа № 2 Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений (слау)
- •Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений
- •Лабораторная работа № 3 Итерационные методы решения слау
- •Метод итераций для решения слау
- •Лабораторная работа № 4 Приближенные методы вычисления определенных интегралов
- •Лабораторная работа № 5 Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
- •Лабораторная работа № 6 Аппроксимация опытных данных
Лабораторная работа № 1 Численное решение нелинейных уравнений
Порядок выполнения работы
Работа выполняется в два этапа:
а) отделение корней;
б) доведение корней до заданной точности.
I. Отделение корней:
а) для получения задания обратитесь к преподавателю или нажмите кнопку ВАРИАНТ;
б) отделите корни уравнения, т.е. определите отрезок (отрезки), содержащий строго один корень уравнения;
в) внесите границы отрезка в ячейки А7, А8;
г) в ячейке А9 укажите точность;
д) в ячейку А6 введите формулу, содержащую левую часть Вашего уравнения и использующую в качестве аргумента х ссылку на адрес А7;
е) для проверки правильности выполнения этапа нажмите кнопку ГРАНИЦЫ.
Доведение корней до заданной точности:
а) в ПОЛЕ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ (голубые ячейки) внесите расчётные формулы метода;
б) в ячейку G9 внесите формулу, ссылающуюся на адрес из ПОЛЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ, содержащий решение задачи;
в) для проверки правильности выполнения этапа нажмите кнопку РЕЗУЛЬТАТЫ.
Общие теоретические основы методов
Нахождение приближённого корня (корней) уравнения состоит из двух этапов, а именно:
а) отделение корней;
б) доведение корней до заданной точности.
Под отделением корней понимают процедуру нахождения отрезка (отрезков), содержащего строго один корень. Очевидно, отрезок [a, b] содержит строго один корень при выполнении двух условий отделимости:
1. f(a) f(b)<0.
2. сохраняет знак в [a, b].
Первое условие отделимости означает, что график функции y=f(x) пересекает ось ОХ в отрезке [a, b] хотя бы один раз. Второе условие отделимости означает, что график монотонной функции y=f(x) в [a, b] пересекает ось в отрезке [a, b] ровно один раз.
Метод дихотомии Теоретические основы метода
Пусть дано уравнение
f(x)=0. (1.1)
Необходимо определить приближенный корень с заранее заданной точностью .
Будем считать, что корни отделены, т.е. определен отрезок (отрезки), содержащий строго один корень. При этом для отрезка [a, b] выполнены условия отделимости.
1. f(a) f(b)<0.
2. Сохраняет знак в [a, b].
Вычислим середину отрезка: . Если f(c) = 0, то задача решена случайно. Если f(c) 0, то получим два отрезка [a, c] и [c, b], в одном из которых находится корень. Для дальнейшего использования выберем тот из двух получившихся отрезков, для которого выполнено первое условие отделимости. Выбранный отрезок обозначим как [a1, b1]. Длину этого отрезка вычислим по формуле . Для полученного отрезка вычислим . Если f(c1) = 0, то задача решена случайно. Если f(c) 0, то из двух полученных отрезков [a1, c1] и [c1, b1] выберем тот, для которого выполнено первое условие отделимости. Переобозначим границы отрезка как [a2, b2].
Описанную процедуру половинного деления следует прекратить на шаге с номером n при выполнении неравенства dn< и в качестве приближенного решения задачи выбрать любую точку из отрезка [an, bn].
Замечание. В приведенном методе выполнение второго условия отделимости не требуется.