41. Парная регрессия.

Интересует установление взаимосвязи между двумя признаками и . и могут быть независимы, связаны между собой функциональной либо корреляционной зависимостью. При корреляции зависимость изменений каждого отдельного значения необязательно влечет за собой изменение , однако изменение приводит к изменению .

Зависимость вида , - ошибка оценки. Чтобы установить вид зависимости строится поле корреляции. На плоскости наносятся координаты и по расположению точек делаются выводы о виде зависимости.

Пусть вид зависимости линейный

.

Коэффициенты и найдем по методу наименьших квадратов . Составим функцию

теоретические значения y.

Найдем и такие, при которых функция S достигает минимума.

Перейдем к средним значениям, поделив на n.

Уравнение вида

(1)

называется уравнением линии регрессии У на Х.

Угловой коэффициент прямой (1) называется коэффициентом регрессии величин Х и У и обозначается

2

Используя формулы (1) и (2) уравнение линии регрессии можно записать так: .

Выборочным коэффициентом корреляции величин Х и У называется величина:

(3)

Квадрат коэффициента корреляции дает коэффициент детерминации, который измеряет долю вариации Y, объясняемую влиянием Х.

Замечания. 1Свойства выборочного коэффициента корреляции совпадают со свойствами коэффициента корреляции, изучаемого в теории вероятностей.2Коэффициент детерминации показывает, какую долю зависимости составляет величина Х в величине У.

Методика построения уравнения регрессии

1. Вычисляем числовые характеристики:

, ,

,

2. Вычисляем выборочный коэффициент корреляции

1. Уравнение линейной регрессии У на Х:

.

42. Парный коэффициент корреляции, его свойства.

(4)

Коэффициент обладает все теми же свойствами, что и теоретический коэффициент корреляции.

1. если x и y независимы, то 0.

2. -1<= 1

3. если x и y связаны линейной зависимостью, т.е. при , то

b>0, =1 b<0, =-1

Таким образом коэффициент является количественной характеристикой зависимости x и y. Чем ближе к единице, тем теснее и ближе к линейной зависимости между X и Y.

43. Проверка гипотез о достоверности коэффициента корреляции.

Пусть на выборке объема n найден коэффициент корреляции X и Y и он отличен от 0. Возможно, при этом, что генеральный коэффициент корреляции равен 0, а выборочное отличие от 0 случайно.

Проверим

H0: =0 H1:

Для проверки гипотезы H₀ используем свойство T

При справедливости H₀ эта случайная величина имеет распределение Стьюдента с (n-2) числом степеней свободы. Проверка H₀ осуществляется следующим образом

1. вычисляется наблюдаемое значение критерия

2. по таблице критических точек распределения Стьюдента

max

|Тнабл|>Tкр, то H₀ отвергается и принимается H₁, следовательно X и Y связаны между собой достоверной корреляционной зависимостью. |Тнабл|<Tкр, нет основания отвергнуть H₀, то недостоверно отличается от 0 (случайно) и между X и Y нет корреляционной зависимости. Методика построения уравнения регрессии