36. Критерий согласия Пирсона.

Критерий проверки гипотез о предполагаемом виде распределения называется критерием согласия. Наиболее распространенным из них является критерий согласия Пирсона или критерий .

Пусть вид распределения изучаемого признака Х неизвестен и пусть есть основание предполагать, что он распределен по некоторой функции теоретического распределения . Обозначим

На основании данных выборки построим интервальный вариационный ряд. Для этого найдем:

1. и размах варьирования .

Весь интервал наблюдаемых значений Х разделим на k частичных интервалов одинаковой длины h=R/k k=3,32lgn Левую границу первого интервала возьмем так чтобы хмин попало внутрь интервала z0=xmin- h/2 тогда правая гр последнего интервала может быть zk=xmax +h/2

В результате получим следующий интервал z0<z1<z2<….<zk 2. Подсчитаем число вариант попавших в i-ый интервал 3. Затем для каждого интервала вычислим вероятности попадания случайной величины в построенные интервалы исходя из функции распределения .

4. Теоретические частоты вычислим по формуле . Критерий Пирсона позволяет ответить на вопрос, значимо ли различаются теоретические и эмпирические частоты. В качестве критерия проверки нулевой гипотезы принимается величина

.

Можно доказать, что при закон распределения случайной величины стремится к закону распределения с -степенями свободы =k-l-1, l-число параметров предлогаемого распр. Поэтому случайная величина обозначается через , а сам критерий называют критерием согласия «хи-квадрат».

Правило: Для того чтобы, при заданном уровне значимости проверить гипотезу H₀: генеральная совокупность распределена по закону , надо сначала вычислить теоретические частоты, а затем наблюдаемое значение критерия

и по таблице критических точек распределения , по заданному уровню значимости, и числу степеней свободы , найти критическую точку .

Если , то нет оснований отвергнуть H₀, следовательно, признак Х распределен по закону . Если , то H₀ отвергаем и принимаем Н₁, следовательно, признак Х распределен по другому законную. Замечание. Для того чтобы эмперич ф-ция распр лучше приближалась к теоретич число интервалов к должно быть большим однако построение критерия хи-квадрат основано на немалых числах ni.Если некоторые частоты малы <5то соседние интервалы объединяються и соответствующие частоты складываются в этом случае число степеней свободы уменьшается на 1.

37. Вычисление теоретических частот для нормального распределения.Пусть имеется выборка объема n, и есть основание предположить, что она имеет нормальное распределение. Для вычисления теоретических частот необходимо выполнить действия, указанные ниже.

1.по данным выборки построить интервальный вариационный ряд Для этого весь интервал наблюдаемых значений Х надо разделитьь на k частичных интервалов (х_i,x _i+1) одинаковой длины. Находим максимальное и минимальные значения значение выборки, размах варьирования. Для определения количества интервалов группировки k воспользуемся формулой Стерджеса: . Тогда ширину частичных интервалов находим из формулы .Число k округляется в сторону наибольшего целого числа. Интервалы строятся таким образом, чтобы и входили внутрь интервалов. Для этого в качестве левой границы первого интервала можно взять , а в качестве правой границы последнего интервала . В качестве частоты вариационного ряда записывают число наблюдений, попавших в каждый промежуток.

2. Для того, чтобы получить оценки параметров и перейдем к дискретному ряду, взяв в качестве варианты Х ряда середины построенных интервалов . В итоге получим последовательность равноотстоящих вариант и соответствующих им частот:

	*	*	…	*
			…

Несмещенной оценкой матожидания является исправленное выборочное среднее , а дисперсии – исправленная выборочная дисперсия s².

, или .

3. Нормируем случайную величину Х, перейдя к величинам

и , .

Причем наименьшее значение будем считать равным , а наибольшее значение - , так как теоретическое нормальное распределение принимает значения на числовой оси.

4. Вычислим теоретические вероятности p_i попадания Х в интервалы : ,

где , - функция Лапласа.

5. Рассчитаем теоретические частоты . Замечания 1Чтобы эмпирическая функция распределения лучше описывала теоретическую нужно, чтобы число интервалов было больше. 2Для выполнения предельной теоремы нужно, чтобы эмпирические частоты не должны быть маленькими (>5).3Если какой-то интервал содержит малые значения m_i, то соседние интервалы объединяются, а частоты складываются. Тогда число степеней свободы критерия ² уменьшается на 1.