33. Распределение , Стьюдента и Фишера.

Рассмотрим распределение случайных величин, которые строятся путем функционального преобразования нормальных случайных величин и используются в математической статистике.

1. Распределение (хи-квадрат).

Пусть независимы и имеют стандартное нормальное распределение. Тогда случайная величина

называется распределенной по закону с n степенями свободы.

Математическое ожидание и дисперсия распределения равны

Случайная величина распределенная по закону имеет плотность распределения

При n распределение медленно стремится к нормальному.

2. Распределение Стьюдента.

Пусть независимы и сл. величины распределены , тогда случайная величина

называется распределенной по закону Стьюдента с k степенями свободы.

Плотность распределения Стьюдента схожа с нормальной. При k распределение Стьюдента быстро стремится к нормальному. При k>140 аргумент плотности нормального распределения отличается на тысячные.

2. Распределение Фишера.

Пусть независимы и имеют распределение с k₁ и k₂ числом степеней свободы. Тогда сл. величина

называется распределенной по закону Фишера с k₁ и k₂ числом степеней свободы.

Замечание. Случайная величина Фишера строится так, что она всегда больше 1.

3 4-35. Доверительные интервалы для оценки мат ожидания

нормального распределения при

Пусть изучаемый признак Х имеет нормальное распределение. Построим по выборке (х1,х2,…,хn) доверительный интервал для оценки матожидания а при заданной надежности γ.

Несмещенной и состоятельной оценкой матожидания является выборочное среднее значение â= .

(отсюда только32 вопрос) значение параметра σ известно. Доверительный интервал будет иметь вид: .

Здесь n – объем выборки.

Точность оценки . Где значения числа находится с помощью таблиц функции Лапласа на основании выбранной надежности γ из уравнения 2 ( )=γ.

(отсюда только33 вопрос) значение параметра σ неизвестно. В этом случае доверительный интервал будет иметь аналогичный вид, как и у значения параметра с σ известным, только вместо σ нужно поставить его оценку. в результате доверительный интервал будет иметь вид: .

В этом случае определяется по таблице распределение Стьюдента, на основании γ и числа степеней свободы n-1.

Так при n→∞ распределение Стьюдента быстро стремиться к нормальному, то при больших объемах выборки (n>100) при нахождении можно воспользоваться таблицей функции Лапласа.

34 Проверка статистических гипотез.

Статистической гипотезой называется гипотеза о неизвестном распределении или о параметрах неизвестного распределения.

Нулевой или основной называется выдвинутая гипотеза H₀.

Конкурирующей или альтернативной называется гипотеза H₁, которая противоречит нулевой.

Для проверки нулевой гипотезы используют специально подобранную случайную величину, точное или приближенное значение которой известно. Эту величину обозначают через , если она распределена по закону «хи-квадрат», через Т- по закону Стьюдента, F- по з-ну Фишера и т.д.

Для проверки гипотезы по данным выборки ( выборок) вычисляются частные значения входящих в критерий величин, и получают наблюдаемое значение критерия К набл.

Статистическим критерием называется случайная величина, которая служит для проверки гипотезы H₀.

При проверке статистических гипотез возможно возникновение ошибок. Ошибка i-го рода возникает, когда мы отвергаем правильную нулевую гипотезу. Вероятность совершить ошибку 1-го рода называется уровнем значимости и обозначается

Ошибка второго рода возникает, когда мы отвергаем правильную гипотезу H_1. Вероятность совершить ошибку второго рода обозначается .

Величину ошибки первого и второго рода исследователь выбирает самостоятельно.

Отметим, что невозможно одновременно уменьшать ошибки первого и второго рода, так как речь идет об одних и тех же гипотезах.

Значение статистического критерия при котором H₀ принимают называется областью принятия гипотезы.

Значения критерия при которых гипотезу отвергают называется критической областью. Точка, которая отделяет эти области называется критической.

Правосторонней называется критическая область, определяемая неравенством .Левосторонней называется критическая область, определяемая неравенством .

Двусторонней называется критическая область, определяемая неравенством .Проверка статистических гипотез осуществляется следующим образом:1. по выборке вычисляется наблюдаемое значение критерия (К_набл).2. если К_набл попало в критическую область нулевую гипотезу отвергают, а если в область принятия гипотезы H₀ принимают.

35. Построение критической области.

Рассмотрим построение правосторонней критически области.

Пусть вид распределения критерия К для проверки Н₀ известен и его плотность вероятности р_к(х) , если выполнима H0(маленькое).

Критическую точку найдем, исходя из требования, чтобы при условии справедливости нулевой гипотезы, вероятность того, что критерий К примет значение, большее К_кр , была равна принятому уровню значимости:

На основании известной плотности вероятности находим K_кр из уравнения: , Критическую точку K_кр можно также можно найти, ис­пользуя функцию распределения: так как

Аналогично строится левосторонняя критическая область. Она определяется неравенством К < К_кр, К_кр < 0 .

Критическую точку найдем, исходя из требования, чтобы при условии справедливости нулевой гипотезы, вероятность того, что критерий К примет значение, меньшее К_кр, была равна принятому уровню значимости: Р(К< К_кр / Н_{0 )=} α

Рассмотрим построение двусторонней симметричной критической области

Пусть плотность распределения критерия К является четной функцией. Раскроем знак модуля и перейдем к од­носторонней (правосторонней) критической области

(двухсторонняя симметричиная критическая область)