- •Учебно-методическое пособие для выполнения индивидуального задания неопределенный интеграл
- •Предисловие
- •Основные приемы и методы интегрирования Основная задача дифференцирования:
- •Основная задача интегрирования:
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •I. Непосредственное интегрирование
- •II. Интегрирование заменой переменной
- •Два способа замены переменной
- •Способ I.
- •Способ II.
- •Замена переменной в уме
- •Решение задач 1-14 типового варианта
- •III. Интегрирование по частям
- •Подынтегральное выражение представить в виде произведения двух сомножителей .
- •По установленному выражению надо дифференцированием найти .
- •По известному сомножителю определить интегрированием функцию .
- •Интегралы, для вычисления которых интегрирование по частям применяется несколько раз
- •Приведение интеграла к самому себе
- •1. Правило выбора частей:
- •Правило разложения правильной рациональной функции на простейшие
- •Корни знаменателя вещественные числа
- •Некоторые корни знаменателя кратные
- •Некоторые корни знаменателя – комплексные числа
- •Корни знаменателя – кратные комплексные числа
- •2. Интегрирование простейших дробей
- •Замечание. Под знаком логарифма трехчлен не взят по абсолютной величине, так как дискриминант отрицателен, а поэтому при любом значении этот трехчлен положителен.
- •3. Общий случай
- •Решение задач 19-21 типового варианта
- •V. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции
- •IV. Интегралы вида
- •V. Интегралы вида
- •1. Если подынтегральная функция имеет вид
- •2. Если подынтегральная функция имеет вид
- •Если функция не изменяется при замене на и
- •Решение задач 22-24, 26 типового варианта
- •VI. Интегрирование некоторых иррациональных функций
- •Рационализация подынтегральной функции
- •Подстановкой ,
- •Подстановкой ,
- •Если – целое число, то имеем рассмотренный выше случай интегрирования простейших иррациональных функций;
- •Если – целое число, то применяется подстановка , где – наименьшее общее кратное знаменателей дробей ;
- •Если – целое число, то используется подстановка , где – знаменатель дроби .
- •Решение задач 27, 28, 25 типового варианта
- •VI. Интегрирование разных функций
- •Еще раз напоминаем, что один и тот же интеграл можно найти по-разному
- •Знания и умения, которыми должен владеть студент
- •1. Знания на уровне понятий, определений, описаний, формулировок
- •2. Знания на уровне доказательств и выводов
- •3. Умения в решении задач Студент должен уметь:
- •Использованная литература
- •Содержание
- •Учебно-методическое пособие для выполнения индивидуального задания неопределенный интеграл
Замечание. Под знаком логарифма трехчлен не взят по абсолютной величине, так как дискриминант отрицателен, а поэтому при любом значении этот трехчлен положителен.
IV. .
Для нахождения интеграла от простейшей дроби четвертого типа положим, как и выше,
.
Тогда получим
.
Обозначая интеграл в правой части , после преобразований имеем
.
Имеем так называемую рекуррентную формулу, которая позволяет найти интеграл для любого .
Задача IV.10. Найти интеграл .
▲ .
Полагая в рекуррентной формуле , будем иметь
,
и, следовательно, искомый интеграл равен
.
3. Общий случай
Для нахождения неопределенного интеграла от дробно-рациональной функции следует поступать следующим образом:
если рациональная дробь неправильная, то делением числителя на знаменатель выделяется целая часть, т. е данная функция представляется в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби;
знаменатель полученной правильной дроби разлагается на произведение линейных и квадратичных множителей;
написать схему разложения правильной дроби на сумму простейших дробей;
освободиться от знаменателей, умножая обе части равенства на знаменатель дроби;
найти неопределенные коэффициенты и подставить их в схему разложения (найти сумму простейших дробей);
используя линейность интеграла, находятся интегралы от каждого слагаемого в отдельности.
Задача IV.11. Найти интегралы: 1) ; 2) ; 3) ;
1) ▲
|
|
|
|
||
|
||
|
|
|
|
. ▼
2) ▲
;
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. ▼
3) ▲
|
|
; ; |
|
||
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. ▼
Решение задач 19-21 типового варианта
Найти неопределенные интегралы.
▲
|
|
|
. ▼
▲
|
|
|
. ▼
▲
|
|
; |
|
||
|
||
|
|
|
|
.
V. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции
I. Интегралы вида
,
где – целое положительное число.
Данные интегралы можно свести к формулам интегрирования, а, следовательно, и найти, руководствуясь следующими правилами:
Интегралы от нечетной степени синуса или косинуса можно найти
• путем отделения от нее одного множителя
• и замены кофункции новой переменной.
Интегралы от четной степени синуса или косинуса можно найти путем понижения степени (вдвое) по формулам:
.
Задача V.I. Найти интегралы: 1) ; 2) ; 3) .
1) ▲ Способ 1.
.
Способ 2.
. ▼
2) ▲ . ▼
3) ▲
. ▼
II. Интегралы вида
.
(Во всем дальнейшем – показатель степени синуса, – показатель степени косинуса).
Интегралы этого вида находят с помощью различных тригонометрических формул, применение которых зависит от показателей степеней . Рассмотрим наиболее часто встречающиеся случаи
Если хотя бы одно из чисел положительно и нечетно, то
• от нечетной степени отделяют множитель ,
• оставшийся множитель в четной степени преобразуют по формуле
,
• применяют подстановку .
Если оба показателя положительны и четны (или один из них – нуль), то показатели степени уменьшают с помощью формул:
.
Если целые отрицательные числа, то интеграл берется непосредственно, если в числителе единицу заменить , где – целая часть числа .
Если , то подынтегральную функцию
• записывают (или она уже записана) в виде дроби,
• в знаменателе выделяют множитель (или ).
• Выражение заменяют ,
• применяют подстановку .
Задача V.II.1. Найти интегралы: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .
1) ▲
. ▼
Замечание. Задачу можно решить, не вводя новую переменную (см. задачу V.I.1)). В дальнейшем поступаем именно так.
2) ▲
. ▼
3) ▲
. ▼
4) ▲
. ▼
Задача V.II.2. Найти интегралы: 1) ; 2) .
1) ▲
. ▼
2) ▲
. ▼
Задача V.II.3. Найти интеграл .
▲
. ▼
Задача V.II.4. Найти интегралы: 1) ; 2) .
1) ▲
. ▼
2) ▲
. ▼
III. Интегралы вида
,
где – целое положительное число.
К интегралу следует применить подстановку .
Получим интеграл .
2) К интегралу удобно применить подстановку .
Получим интеграл .
3) Выполняя деление, придем к выражению, которое непосредственно интегрируется.
Задача V.III.1. Найти интегралы: 1) ; 2) .
1) ▲
. ▼
2) ▲
|
|
|
|
||
|
||
|
. ▼
Замечание. При нахождении интегралов применяется формула
,
с помощью которой последовательно понижается степень тангенса или котангенса.
Задача V.III.1. Найти интегралы: 1) ; 2) .
1) ▲
. ▼
2) ▲
.