- •Учебно-методическое пособие для выполнения индивидуального задания неопределенный интеграл
- •Предисловие
- •Основные приемы и методы интегрирования Основная задача дифференцирования:
- •Основная задача интегрирования:
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •I. Непосредственное интегрирование
- •II. Интегрирование заменой переменной
- •Два способа замены переменной
- •Способ I.
- •Способ II.
- •Замена переменной в уме
- •Решение задач 1-14 типового варианта
- •III. Интегрирование по частям
- •Подынтегральное выражение представить в виде произведения двух сомножителей .
- •По установленному выражению надо дифференцированием найти .
- •По известному сомножителю определить интегрированием функцию .
- •Интегралы, для вычисления которых интегрирование по частям применяется несколько раз
- •Приведение интеграла к самому себе
- •1. Правило выбора частей:
- •Правило разложения правильной рациональной функции на простейшие
- •Корни знаменателя вещественные числа
- •Некоторые корни знаменателя кратные
- •Некоторые корни знаменателя – комплексные числа
- •Корни знаменателя – кратные комплексные числа
- •2. Интегрирование простейших дробей
- •Замечание. Под знаком логарифма трехчлен не взят по абсолютной величине, так как дискриминант отрицателен, а поэтому при любом значении этот трехчлен положителен.
- •3. Общий случай
- •Решение задач 19-21 типового варианта
- •V. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции
- •IV. Интегралы вида
- •V. Интегралы вида
- •1. Если подынтегральная функция имеет вид
- •2. Если подынтегральная функция имеет вид
- •Если функция не изменяется при замене на и
- •Решение задач 22-24, 26 типового варианта
- •VI. Интегрирование некоторых иррациональных функций
- •Рационализация подынтегральной функции
- •Подстановкой ,
- •Подстановкой ,
- •Если – целое число, то имеем рассмотренный выше случай интегрирования простейших иррациональных функций;
- •Если – целое число, то применяется подстановка , где – наименьшее общее кратное знаменателей дробей ;
- •Если – целое число, то используется подстановка , где – знаменатель дроби .
- •Решение задач 27, 28, 25 типового варианта
- •VI. Интегрирование разных функций
- •Еще раз напоминаем, что один и тот же интеграл можно найти по-разному
- •Знания и умения, которыми должен владеть студент
- •1. Знания на уровне понятий, определений, описаний, формулировок
- •2. Знания на уровне доказательств и выводов
- •3. Умения в решении задач Студент должен уметь:
- •Использованная литература
- •Содержание
- •Учебно-методическое пособие для выполнения индивидуального задания неопределенный интеграл
Решение задач 1-14 типового варианта
Найти неопределенные интегралы (в задачах 1-5 результаты интегрирования проверить дифференцированием).
.
▲
.
Проверим полученный результат:
. ▼
.
▲ Способ 1.
.
▲ Способ 2.
.
Проверим полученный результат:
. ▼
.
▲ Способ 1.
.
Способ 2.
.
Проверим полученный результат:
. ▼
.
▲ Способ 1.
.
Способ 2.
.
Проверим полученный результат:
. ▼
.
▲ Способ 1.
.
Способ 2.
.
Проверим полученный результат:
. ▼
.
▲ Способ 1.
.
Способ 2.
. ▼
.
▲ Способ 1.
.
Способ 2.
. ▼
.
▲ Способ 1.
.
Способ 2.
. . ▼
.
▲ Способ 1.
.
Способ 2.
. ▼
.
▲ Способ 1.
.
Способ 2.
. ▼
.
▲ Способ 1.
.
Способ 2.
. ▼
.
Способ 1.
▲
.
Способ 2.
. ▼
.
Способ 1.
▲
.
Способ 2.
. ▼
.
▲
. ▼
III. Интегрирование по частям
Интегрирование по частям основано на применении формулы
, ( III.1)
где – непрерывно дифференцируемые на некотором интервале функции. Формула (III.1) называется формулой интегрирования по частям. Она дает возможность свести нахождение интеграла к отысканию интеграла , который во многих случаях оказывается более простым.
Для применения формулы интегрирования по частям к некоторому интегралу следует:
Подынтегральное выражение представить в виде произведения двух сомножителей .
По установленному выражению надо дифференцированием найти .
По известному сомножителю определить интегрированием функцию .
Таким образом, для применения формулы (III.1) потребуется выполнить одно дифференцирование для определения и одно интегрирование для определения . За всегда выбирается такое выражение, содержащее , из которого посредством интегрирования можно найти ; в большинстве случаев принимается функция, которая при дифференцировании упрощается.
Полезно запомнить следующие 6 типов интегралов, вычислять которые удобно интегрированием по частям:
,
Здесь – многочлен, – постоянные множители.
Для вычисления интегралов полагаем:
;
принимается вся остальная часть подынтегрального выражения.
Задача III.1. Найти интегралы: 1) ; 2) ; 3) .
1) ▲
. ▼
2) ▲
. ▼
3) ▲
. ▼
Для вычисления интегралов IV, V, VI:
следует принимать одну из функций ;
принимается вся остальная часть подынтегрального выражения.
Задача III.2. Найти интегралы: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .
1) ▲ . ▼
2) ▲
. ▼
3) ▲
. ▼
4) ▲
. ▼
Интегралы, для вычисления которых интегрирование по частям применяется несколько раз
Для вычисления интегралов I, II, III применяем формулу интегрирования по частям (III.1), полагая . Этот прием дает возможность постепенно понижать степень полинома, стоящего под знаком интеграла. Последовательно применяя формулу интегрирования по частям столько раз, какова степень многочлена , мы сведем вычисление данного интеграла к вычислению интеграла , где функция
Задача III. 3. Найти интегралы: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .
1) ▲
. ▼
2) ▲
. ▼
3) ▲
. ▼
4) ▲
. ▼
Аналогично, интегралы IV, V, VI берутся по частям столько раз, какова степень подынтегральных функций .
Задача III. 4. Найти интегралы: 1) ; 2) ; 3) .
1) ▲
. ▼
2) ▲
. ▼
3) ▲
. ▼