- •Учебно-методическое пособие для выполнения индивидуального задания неопределенный интеграл
- •Предисловие
- •Основные приемы и методы интегрирования Основная задача дифференцирования:
- •Основная задача интегрирования:
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •I. Непосредственное интегрирование
- •II. Интегрирование заменой переменной
- •Два способа замены переменной
- •Способ I.
- •Способ II.
- •Замена переменной в уме
- •Решение задач 1-14 типового варианта
- •III. Интегрирование по частям
- •Подынтегральное выражение представить в виде произведения двух сомножителей .
- •По установленному выражению надо дифференцированием найти .
- •По известному сомножителю определить интегрированием функцию .
- •Интегралы, для вычисления которых интегрирование по частям применяется несколько раз
- •Приведение интеграла к самому себе
- •1. Правило выбора частей:
- •Правило разложения правильной рациональной функции на простейшие
- •Корни знаменателя вещественные числа
- •Некоторые корни знаменателя кратные
- •Некоторые корни знаменателя – комплексные числа
- •Корни знаменателя – кратные комплексные числа
- •2. Интегрирование простейших дробей
- •Замечание. Под знаком логарифма трехчлен не взят по абсолютной величине, так как дискриминант отрицателен, а поэтому при любом значении этот трехчлен положителен.
- •3. Общий случай
- •Решение задач 19-21 типового варианта
- •V. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции
- •IV. Интегралы вида
- •V. Интегралы вида
- •1. Если подынтегральная функция имеет вид
- •2. Если подынтегральная функция имеет вид
- •Если функция не изменяется при замене на и
- •Решение задач 22-24, 26 типового варианта
- •VI. Интегрирование некоторых иррациональных функций
- •Рационализация подынтегральной функции
- •Подстановкой ,
- •Подстановкой ,
- •Если – целое число, то имеем рассмотренный выше случай интегрирования простейших иррациональных функций;
- •Если – целое число, то применяется подстановка , где – наименьшее общее кратное знаменателей дробей ;
- •Если – целое число, то используется подстановка , где – знаменатель дроби .
- •Решение задач 27, 28, 25 типового варианта
- •VI. Интегрирование разных функций
- •Еще раз напоминаем, что один и тот же интеграл можно найти по-разному
- •Знания и умения, которыми должен владеть студент
- •1. Знания на уровне понятий, определений, описаний, формулировок
- •2. Знания на уровне доказательств и выводов
- •3. Умения в решении задач Студент должен уметь:
- •Использованная литература
- •Содержание
- •Учебно-методическое пособие для выполнения индивидуального задания неопределенный интеграл
II. Интегрирование заменой переменной
Одним из основных приемов интегрирования функций является замена переменной (метод подстановки), который состоит в том, что в интеграле , нахождение которого затруднительно, вводят новую переменную , связанную с переменной соотношением
,
где – непрерывная строго монотонная функция, имеющая непрерывную производную на некотором интервале изменения , после чего получают
.
Отметим, что при замене должно осуществляться взаимно однозначное соответствие между областями определения функций , такое, чтобы функция принимала все значения .
Два способа замены переменной
Переменную интегрирования в неопределенном интеграле можно заменить любой непрерывной функцией:
. (I)
Формула (I) определяет собой два способа замены переменной. При чтении формулы слева направо получается способ I:
.
Если будет проще, чем , то эта замена переменной целесообразна. В результате интегрирования получится функция независимой переменной
При чтении справа налево получается способ II:
.
Если последний интеграл проще первого, то замена переменной целесообразна.
Способ I.
.
Общего правила, которое указывало бы, как выбрать функцию , не существует. Умение выбрать эту функцию достигается опытом. Однако для многих типов интегралов подстановка известна и нами будет в соответствующих местах указана. Обратим внимание читателя на то, что, пользуясь подстановкой , надо найти множитель .
Заметим также, что функция должна иметь обратную функцию. Это необходимо для того, чтобы из подстановки можно было определить как функцию .
Задача I.1. Найти интеграл при помощи подстановки .
▲
. ▼
Задача I. 2. Найти интеграл .
▲
. ▼
Задача I. 3. Найти интеграл .
Способ 1.
▲
. ▼
Способ 2.
▲
. ▼
Способ II.
.
Задача II. 1. Найти интеграл .
▲ . ▼
Задача II. 2. Найти интегралы: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .
1) ▲
. ▼
2) ▲ . ▼
3) ▲ . ▼
4) ▲
. ▼
Замена переменной в уме
Замена переменной в уме может быть выполнена во втором случае:
,
когда – табличный интеграл, в котором переменная интегрирования – непрерывная функция.
ДЛЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ В УМЕ НЕОБХОДИМО:
ХОРОШО ЗНАТЬ ТАБЛИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИХ СТРУКТУРУ,
УМЕТЬ БЫСТРО НАХОДИТЬ ТАБЛИЧНЫЙ ИНТЕГРАЛ, ПОХОЖИЙ НА ДАННЫЙ,
ОВЛАДЕТЬ ПРИЕМОМ ПОДВЕДЕНИЯ ФУНКЦИИ ПОД ЗНАК ДИФФЕРЕНЦИАЛА.
Объясним последнюю операцию:
Подвести функцию под знак дифференциала – значит, проинтегрировать ее в уме и записать под знак дифференциала одну из ее первообразных функций.
Пример 1. Подведите под знак дифференциала следующие функции.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Структура табличных интегралов |
Если , то , |
где – любая непрерывная функция |
Пример 2. Посмотрите, как по-разному могут быть записаны табличные интегралы, если воспользоваться формулой при разных функциях :
.
А если записать их иначе:
.
Не правда ли, в интегралах справа очень трудно узнать интеграл, определяющий синус сложной функции.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ В УМЕ СОСОТОИТ В ТОМ,
ЧТОБЫ УЗНАТЬ, В КАКОМ ТАБЛИЧНОМ ИНТЕГРАЛЕ, КАКОЙ НЕПРЕРЫВНОЙ ФУНКЦИЕЙ ЗАМЕНЕНА ПЕРЕМЕННАЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ,
ЗАТЕМ ПОДВЕСТИ НУЖНУЮ ЧАСТЬ ПОДЫНТЕГРАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ ПОД ЗНАК ДИФФЕРЕНЦИАЛА,
ПОЛУЧИТЬ И ЗАПИСАТЬ ПО ТАБЛИЦЕ СООТВЕТСТВУЮЩЕЕ .
Задача 1. Найти интегралы: 1) ; 2) .
1) ▲ . ▼
2) ▲ . ▼