Глава 6

_{+ )—( +•}

_и

/

Рис. 6Л. Примеры диаграмм, отвечающих элементам 5-матрицы в теории

лизм. Входящие в выражение (6.1) волновые функции внеш­них частиц имеют вид exp(ik_n-x_n), где &«•—импульс п-и внеш­ней частицы. Мы будем использовать представление, в котором х_п является с-числом. Рассмотрим теперь операторную волно­вую функцию exp[ik-x(x)]_y где x^(i) = х^ + р^т — решение уравнений движения и [х^, p^v] = щ^. Кроме того, введем ва­куум (0>, такой, что

pi* | 0> = 0. (6.2)

Отсюда получаем

п\__ fMplk-x(x)\ f)\ (Q 3^

Тогда амплитуду рассеяния, соответствующую диаграмме пер­вого типа на рис. 6.1, естественно считать корреляционной функцией:

A_N - A,"-* J Д dx_t (0 | exp [ik_x • х (тО] X

X exp [ik₂ • х (т₂)] ... exp [ik_N • х (i_N)] \ 0). (6.4)

Используя формулу Бейкера — Хаусдорфа, получаем (полагая, что k² = 0)

_{= ехр} {j_ _xp2^ _eik-x _exp ^ _ L.

Поскольку т мы считаем временной переменной, принимаю­щей вещественные значения от —оо до +оо, мы видим, что экспоненты в соотношении (6.5) плохо определены. Это типич­ная ситуация в релятивистской квантовой теории. Поэтому не­обходимо получить аналитическое продолжение к мнимому вре­мени (виковский поворот), провести все вычисления и вернуться обратно; это даст в конечном счете правильную структуру по­люсов. После перехода к мнимому времени мы должны также считать р° мнимым числом, и в окончательном выражении мы

Операторный формализм ЬТ

вернем р° к вещественному значению обратным виковским по­воротом. Следовательно, мы проводим замену t-Wt. Можно ввести новые переменные:

ехр(—т_£) = 2,, dx_i = — dz_i/z_u (6.6)*

где Zi принадлежит действительной оси. Так как нас интересуют элементы 5-матрицы, то будем считать, что начальное состоя­ние, в котором находится первая частица, соответствует вре­мени —оо, а конечное состояние с N-й частицей соответствует времени -f-oo. Поэтому мы получаем

После этого Z\ и z_N выпадают из выражения (6.4). Осталь­ные переменные zi должны быть упорядочены, и мы можем выбрать такой масштаб для zi, чтобы г₂ = 1. Теперь естествен­но провести замену переменных yi — Zi[Zi__x и проинтегрировать по г/з, ..., tjN-\ в пределах от 0 до 1. В результате получаем выражение

²

в котором нетрудно узнать типичный элемент S-матрицы. Если мы теперь вернем р° обратно виковским поворотом, то получим полюсы с правильным фейнмановским предписанием. Мы могли бы провести вычисления с вещественными т/; для этого нужно было вставить затухающие множители в выражение (6.5), то­гда амплитуда (6.4) была бы хорошо определена. Такая про­цедура также привела бы к амплитуде (6.7) с фейнмановским правилом обхода полюсов. На практике мы будем работать с z-переменными и считать р° вещественным, но будем помнить, что полюсы нужно обходить по правилу Фейнмана.

Из выражения (6.7) легко получить диаграммные правила Фейнмана. В принципе мы можем также построить вершинные операторы и для чисто внутренних вершин, например для та­ких вершин, как изображенная на второй диаграмме рис. 6.1. Но в теории точечных частиц амплитуды для таких диаграмм проще получить, используя свойство унитарности и диаграмм­ные правила Фейнмана, вытекающие из выражения (6.7).

Заметим, что на самом деле мы не выводили операторный формализм. В действительности мы можем установить одно­значное соответствие между операторным формализмом и фор­мализмом интеграла по траекториям и в этом смысле вывести его, если, конечно, считать, что последний формализм является-более фундаментальным [51].

.58 Глава 6

Рис. 6.2. Амплитуды излучения частиц струной,

В теориях, описывающих точечные частицы, наиболее мощ­ным вычислительным средством оказалась квантовая теория поля, в рамках которой не только определяется правильное разложение по теории возмущений, но также исследуются раз­личные непертурбативные аспекты. Когда мы хотим рассматри­вать струнные теории, которые являются более сложными, чем теории точечных частиц, оказывается нежелательным следовать слишком совершенным и потому технически достаточно слож­ным методам теории. Например, существует детально разрабо­танная техника континуального интеграла, в рамках которой хорошо определяется разложение по теории возмущений. Мы не будем здесь останавливаться на этом, и читатель может найти подробное изложение этих вопросов в работе Манделстама [52]. Вместо этого остальная часть данной главы посвящена опе­раторному формализму.

Одним из основных моментов операторного формализма в теории точечных частиц было предположение, согласно кото­рому происходят только трехчастичные взаимодействия. Что касается струн, то в этом случае еще более естественно при­нять предположение, что струна распадается на две струны. (Попробуйте разрезать кусок веревки сразу на три части.) Рас­смотрим вначале бозонные струны. Так как мы хотим получить 5-матрицу, то нас интересуют амплитуды, в которых струны излучают определенные состояния. Для простоты начнем с ам­плитуды рассеяния N тахионов (рис. 6.2). Тахион представляет собой точечную частицу, особое состояние открытой струны. Чтобы не нарушить принцип локальности, мы должны предпо­ложить, что он излучается с одного из концов струны. Тогда естественное обобщение вершинного оператора теории точечных частиц на случай струн имеет вид [53]

Операторный формализм

где х*— то же, что в выражении (2.25), а нормальное упоря­дочение введено, чтобы имело смысл усреднение по вакууму.. Чтобы установить соответствие с обозначениями модели Вене-циано, введем

х = - / In z, Q* (г) ^=x*{o = 0, т). (6.9)

Процедура нормального упорядочения в выражении (6.8), дает

V _п=1

Основываясь на аналогии с теорией взаимодействующих то­чечных частиц, предположим, что амплитуда в теории струа имеет следующий вид:

Здесь точки действительной оси Zi упорядочены таким образом, что zi >> Zi+\. Будем считать, что амплитуда (6Л1) соответ­ствует процессу, в котором частица 1 взаимодействует с части­цей 2, и образовавшаяся частица затем последовательно излу­чает все остальные частицы. Выражение (6.11) будет правильной амплитудой в том случае, если оно содержит полюсы в промежу­точных каналах и частицы, взаимодействующие в вычетах этих полюсов, совпадают с физическими состояниями струны, т. е.

L_nl промежуточное состояние) = 0, (6.12)

(L_o — 1) | промежуточное состояние) = 0, (6.13)

Заметим, что мы не выводили амплитуду (6.11), а всего лишь взяли правдоподобное выражение.

Для дальнейшего исследования амплитуды вычислим сред­нее по вакууму в выражении (6.II). Это можно проделать двумя путями: либо прокоммутировать все операторы уничто­жения с операторами рождения и расположить их правее всех операторов рождения, используя формулу Бейкера — Хаусдор-фа, либо использовать методы операторного разложения. В ре­зультате получим

N

_{П(Zt ~}