- •Фоковское пространство духов 224
- •Пуанкаре-инвариантность 233
- •59, 60 Вершинный оператор 58, 63, 66, 195
- •Сравнительная таблица обозначений, используемых в частях I и и
- •Глава 2
- •Глава 3
- •34 Глава 3
- •Глава 4 Суперструны
- •Глава 5 Гетеротическая струна
- •52 Глава 5
- •Глава 6
- •Глава 6
- •66 Глава 6
- •Глава 7
- •Глава 8
- •78 Глава 8
- •Глава 9
- •Глава 10 Дальнейшие перспективы
- •Глава 10
- •Часть II Лекции по теории струн
- •Глава 11 Введение
- •Глава 12 Струна Намбу—Гото: классический анализ
- •12.1. Принцип действия
- •12.1.1. Действие Намбу — Гото
- •12.1.2. Действие в квадратичной форме
- •12.1.4. Калибровочные симметрии
- •106 Глава 12
- •12.1.5. Глобальные симметрии
- •12,1.6. Конформная симметрия
- •12.1.7. Граничные условия
- •112 , Глава 12
- •12.2. Гамильтонов формализм
- •12.2.1. Связи
- •12.2.2. Смысл условий связи — упрощение формализма
- •Глава 12
- •12.3. Более подробное описание алгебры связей
- •12.3.1. Явные вычисления
- •12.3.2. Условия Вирасоро
- •1. Открытая струна:
- •12.4. Фурье-моды
- •12.4.2. Замкнутые струны
- •12.5. Калибровка светового конуса
- •12.5.2. Калибровка светового конуса
- •12.5.3. Общее решение классических уравнений движения струны
- •144 Глава 12
- •12.5.4. Скобки Дирака как независимые степени свободы
- •12.5.5. Действие и гамильтониан в калибровке светового конуса
- •12.5.6. Генераторы алгебры Пуанкаре
- •150 Глава 12
- •Глава 13
- •13.1. Алгебра Вирасоро — общее рассмотрение
- •13.1.1. Введение
- •13.1.2. Операторы Вирасоро — фоковское представление
- •13.1.3. Алгебра Вирасоро
- •13.1.4. Сравнение связей Вирасоро с уравнением Уилера — Де Витта
- •15.1.5. Алгебра Вирасоро и алгебры Каца — Муди
- •13.1.6. Алгебра Вирасоро на искривленном фоне
- •1 3.2.1. Брст-квантование — краткий обзор
- •13.2.3. Фоковское пространство духов
- •13.2.5. Критическая размерность на искривленном фоне
- •13.2.6. Физическое подпространство
- •174 Глава 13
- •13.27. Замечания по поводу удвоения
- •13.2.8. Разное
- •13.3. Квантование в калибровке светового конуса
- •13.3.1. Пуанкаре-инвариантность квантовой теории
- •13.3.2. Описание спектра
- •13,3.3. Замкнутая струна — пуанкаре-инвариантность
- •13.3.4. Спектр (замкнутая струна)
- •13.4. Ковариантное квантование
- •13.4.2. Вершинный оператор
- •13.4.3. Состояния ддф
- •Глава 14
- •14.1. Локальная суперсимметрия в двух измерениях
- •14.2. Суперконформная алгебра
- •14.2.1. Квадратный корень из бозонных и фермионных связей
- •14.2.2. Граничные условия
- •14.2.26. Замкнутая струна
- •14.2.4. Генераторы Пуанкаре
- •14.3. Фурье-моды (открытая струна)
- •14.3.3. Генераторы Пуанкаре
- •14.3.4. Замечания для случая замкнутой струны
- •Глава 15 Фермионная струна: квантовый анализ
- •15.1. Бекки — Рюэ— Стора — Тютина (брст) квантование модели Неве— Шварца
- •15.1.1. Фоковское пространство духов
- •15.1.2. Брст-оператор
- •15.1.3. Критическая размерность
- •15.1.4. Структура физического подпространства
- •15.2. Бекки — Рюэ — Стора — Тютина (брст) квантование модели Рамона
- •15.2.1. Фоковское пространство духов
- •15.2.2. Брст-оператор
- •15.2.3. Критическая размерность
- •15.2.4. Структура физического подпространства
- •15.2.5. Замечания для случая замкнутой струны
- •15.3.1. Пуанкаре-инвариантность
- •15.3.2. Спектр Неве — Шварца
- •15.3.3. Спектр замкнутой струны Неве — Шварца
- •15.4. Квантование модели Района в калибровке светового конуса
- •15.4. 1. Пуанкаре-инвариантность
- •15.4.2. Спектр Рамона
- •15.4.3. Замкнутая струна
- •236 Глава 15
- •15.5. Суперсимметрия в десяти измерениях
- •15.5.1. Открытая струна
- •15.5.2. Замкнутая струна
- •Глава 16
- •16.1. Ковариантное действие
- •16.1.2. Инвариантное действие
- •16.1.3. Локальная суперсимметрия
- •16.1.4. Уравнения движения и граничные условия
- •16.1.5. Структура калибровочных симметрии
- •16.1.6. Суперзаряды Пуанкаре
- •16.1.7. Гамильтонов формализм
- •16.1.8. Калибровка светового конуса
- •256 Глава 16
- •16.2. Квантовая теория
- •16.3. Суперчастица
- •16.3.1. Действие — калибровочные симметрии
- •16.3.2. Суперзаряды Пуанкаре
- •260 Глава 16
- •16.3.4. Смысл связей
- •16.3.5. Модель Сиджела
- •16.3.6. Калибровка светового конуса
- •270 Глава 16
- •272 Глава 16
- •Глава 17 Гетеротическая струна
- •Для бозонной струны, основанное на брст-методах
- •Разложение десятимерных спиноров в калибровке светового конуса
- •Оглавление
- •Глава 13. Квантование струны Намбу—Гото 152
- •Глава 15. Фермионная струна: квантовый анализ
- •Глава 16. Суперструиа 239
- •Глава 17. Гетеротическая струна 274
Глава 9
Другие примеры струнных взаимодействий и возможное появление аномалий
Построение взаимодействий включает нахождение нелинейных представлений суперпуанкаре-алгебры с использованием вторично квантованных функционалов. В случае открытых струн мы начнем с построения трехструнного взаимодействия. Рассмотрим естественное взаимодействие, которое возникает, когда концы двух струн соединяются и образуется одна струна. Будем использовать полевой формализм, рассмотренный в гл. 7, и возьмем гамильтониан в виде
Яз = i J D^DZ2h3 (оь о2) Тг (д_Ф [2, + 22] Ф [2,] Ф [22]), (9.1)
где след берется по индексам группы SO(N) или Sp(2N) поля Ф. В момент взаимодействия одна крайняя точка в конфигурации Si совпадает с одной из крайних точек в 2г. Переменные а мы выберем так, чтобы длина струны была равна лос == 2р+п.
Здесь также необходимо использовать всю алгебру, чтобы получить однозначный ответ для гамильтониана, где
'Lp!; (9.2)
« = 0,2,4 А1 Ап
часть обозначений уже использсвалась в выражении (8.8). (Дальнейшая информация об обозначениях приведена в приложении к части I). Кроме того,
для l = L,
(9.3)
С*— Cab = C1abcd = 0 в остальных случаях.
Как и в случае замкнутых струн, детальное исследование гамильтониана в разложении по модам показывает, что
82 Глава 9
необходимо включить определенные сглаживающие факторы. А именно все операторы 6/б9л и р< нужно умножить на фактор (jtoti — о)1/2 и взять предел при а-*- яа{.
Вершины для открытых струн также можно использовать для построения вершин в замкнутых струнах; для этого нужно взять их прямое произведение. Поскольку мы уже видели, что левобегущие и правобегущие моды разделяются во всех генераторах, мы можем построить вершину для замкнутых струн путем перемножения двух вершин для открытых струн, одна из которых содержит только левобегущие моды, а другая — только правобегущие. После этого построенную вершину можно переписать также в функциональной форме как произведение левобегущих и правобегущих операторов.
Таким образом, трехструнные взаимодействия мы знаем. Существуют ли взаимодействия с большим числом струн, подобно тому как существуют высшие взаимодействия в теории точечных частиц? Ответ вероятнее всего будет отрицательным. Можно убедиться в том, что четырехструнное взаимодействие,
которого можно было бы ожидать из коммутатора {QJ3a, Qb?}*
в действительности равно нулю [68] (за исключением возможного ненулевого члена, соответствующего рассеянию вперед), а также в том, что явные вычисления четырехчастичной амплитуды с использованием только трехструнных вершин приводят к лоренц-инвариантным выражениям. Следовательно, алгебра оказывается замкнутой с учетом только трехструнных взаимодействий. Возможность привлечения взаимодействий с большим числом струн до сих пор не исключена, но это весьма маловероятно.
Оба рассмотренных типа взаимодействий являются локальными. Для получения последовательной теории мы должны потребовать, чтобы взаимодействие возникало всякий раз, когда концы струн соприкасаются или сближаются две внутренние точки струн. Эти случаи изображены на рис. 9.1 и 9.2.
В случае открытых струн с естественным трехструнным "взаимодействием Янга — Миллса", как в выражении (9.2),, одна струна может свернуться и образовать замкнутую струну. Это приведет к взаимодействию в виде gWQ)™. To же самое касается гравитационного взаимодействия (8.8). В этом случае две открытые струны могут соприкоснуться двумя своими внутренними точками, затем обменяться сегментами и рассеяться в две новые струны, порождая взаимодействие %Ф4. Отметим, что это взаимодействие отличается от обычного четырехструнного взаимодействия, в котором возникают только процессы 13
Другие примеры струнных взаимодействий
83
Рис. 9.1. Две открытые струны касаются концами и образуется новая струна.
А
Рис. 9.2. Две струны касаются внутренними точками и обмениваются сегментами.
Гравитационное взаимодействие приводит к тому, что открытая струна может распасться на замкнутую и открытую струны, порождая вершину взаимодействия вида хФФ2.
Наконец, в теориях типа I как открытая, так и замкнутая струна может сложиться вдвое, в результате чего образуется новая открытая или замкнутая струна. Эти взаимодействия порождают вершины вида кФ2 и x*F2.
Все вторично квантованные действия, соответствующие различным струнам, однозначны [67]. Это можно также доказать и для гетеротической струны [70]. Поэтому допустимых контрчленов к действию не существует, за исключением, может быть, его самого. Если в теории удается доказать, что квантовые поправки не нарушают суперпуанкаре-инвариантности, то такие теории по крайней мере перенормируемы. Как было показано Манделстамом [71], 5-матрица в суперструнах является кова-риантной, поэтому она должна быть по крайней мере перенормируемой. Чтобы решить окончательно вопрос о конечности, потребуется гораздо лучшее понимание того, как устроены высшие петли.
Однопетлевые диаграммы были вычислены в операторном формализме светового конуса [65]. Было найдено, что в суперструнах типа II такие диаграммы действительно оказываются конечными, тогда как в суперструнах типа I однопетлевой
84 Глава 9
вклад, по-видимому, расходится, но является перенормируемым. Тем не менее детальная проверка показывает, что и в случае суперструн типа I однопетлевые диаграммы также приводят к конечному ответу, если в качестве калибровочной группы взять 50(32) [72]. Для гетеротической струны также была показана конечность на однопетлевом уровне,
Суперпуанкаре-инвариантность, о которой мы говорили выше, в теории с взаимодействием проверялась только на классическом уровне. Исследование полной квантовой теории может только наложить еще большие ограничения на теорию. Так на однопетлевом уровне появляется условие x>~g2. Более того, в киральных теориях квантовые поправки могут привести к аномалиям. Замечательно, что для суперструн типа I с калибровочной группой 50(32) [28], для суперструн типа Пб [27] и для гетеротической струны не существует аномалий на однопетлевом уровне, хотя эти теории и содержат киральные фер-мионы.
Отсутствие аномалий в этих теориях само по себе оказалось большим сюрпризом. В десятимерной калибровочной теории с киральными фермионами, например в суперструнах типа I, можно было ожидать, что калибровочный ток имеет аномальную дивергенцию, возникающую из шестиугольных диаграмм, поскольку такие диаграммы могут давать вклад вида
д.Г„ #> - *»?г {AaF^ ... F^J, (9.4)
где матрицы взяты в том представлении, в котором находятся киральные фермионы, циркулирующие по петле. Грин и Шварц [28] вычислили шестиугольную диаграмму в операторном формализме Района — Неве — Шварца. Они показали, что аномалия сокращается, если взять калибровочную группу 50(32).
Поскольку аномалии вызываются именно безмассовыми фермионами, нужно понять этот результат и на уровне соответствующей теории точечных частиц. Такая теория получается из струнной теории следующим образом. Будем исходить из полной струнной теории поля в случае суперструн типа I. Разложим порождающие функционалы Ф и W в бесконечные ряды по полям, которые соответствуют точечным частицам, а затем проинтегрируем по всем массивным суперполям. Тогда мы получим (в принципе) эффективное действие в терминах суперпо-лей ф0 и i|)o безмассовых мод.
где Si состоит из локальных членов, а 52 — из бесконечной последовательности нелокальных членов. Снова мы снимаем в
Другие примеры струнных взаимодействий 85
принципе все калибровки и получаем ковариантное действие, построенное из супергравитационного мультиплета, взаимодействующего с мультиплетом Янга — Миллса. Хотя это гипотетические вычисления, отдельные члены эффективного действия можно получить, рассматривая струнные амплитуды с внешними безмассовыми состояниями в разложении по а'.
Тогда можно ожидать, что полученное действие Si в низшем порядке по а/ совпадает с действием минимальной супергравитации, взаимодействующей с теорией Янга—Миллса. Однако оказывается, что это не так. А именно появляется новое дополнительное действие, включающее антисимметричное тензорное поле В^, которое в случае калибровочной группы 50(32) имеет вид
240
-±tr(RAR)Atr(RAR)]. (9.6)
Действие (9.6) построено так, что уже в древесном приближении приводит к аномалиям, которые сокращают все одно-петлевые аномалии, возникающие в минимальной теории. Это замечательный результат, и он показывает, каким образом струнные теории являются внутренне согласованными.
Рассмотренный нами механизм сокращения аномалий в теории поля работает также и в случае калибровочной группы £з X ^8', этот факт стал основой для открытия гетеротической струны.
В суперструнах типа I и в гетеротической струне все одно-петлевые диаграммы оказываются конечными. Следовательно, не нужно использовать какую-либо регуляризацию, и аномалии не могут возникнуть.
Мы только что видели, что между конечностью теории и отсутствием аномалий имеется глубокая связь. Эта связь несомненно распространяется и на петли высших порядков; она укрепляет нашу веру в то, что фундаментальная теория струн должна быть конечной.