11. Рівняння руху поїзда та його розв’язок.

Рівняння руху поїзда дозволяє оцінити вплив прискорюючих та уповільнюючих сил, діючих на поїзд, на прискорення його руху.

Як відомо, зв’язок між силою прискоренням та масою будь-якого тіла, яке рухається поступово, в тому чіслі і поїзда, можна визначити за допомогою другого закону Ньютона:

F_р = m а, (1)

де F_р - прискорюючая сила, діюча на поїзд, Н;

m - маса поїзда, кг;

а - прискорення руху, м/с².

Так як маса поїзда вимірюється в тонах і, щоб отримати її в кілограмах необхідно помножити на 1000; швидкість вимірюється в км/м. Щоб виразити швидкість в цих одиницях виміру, треба щоб прискорення було в КМ на ГОДИНУ в квадраті:

1 м/с²=3600²/1000=12960 км/год².

Тоді рівняння (1) F_р = mа матиме вигляд:

F_р = m a/12,96 . (2)

Під час руху поїзда поряд із поступовим рухом велика кількість його частин, таких як: колісні пари вагонів та локомотивів, якоря ТЕД та елементи зубчатих передач, елементи механічних та гідравлічних передач та підвагонні генератори, також здійснюють обертання. Внаслідок чого, прискорююча сила поїзда викликає не тільки прискорення поступового руху поїзда, а й кутове прискорення частин, які обертаються. У випадку зниження швидкості руху поїзда частини які обертаються, намагаються зберегти рух, заважають дії уповільнюючих сил. Таким чином частини які обертаються зменшують як прискорення, так і уповільнення руху поїзда, викликаючи таким чином ефект - зміну маси поїзда. В розрахунках цей вплив враховується коефіцієнтом (1+) інерції частин, що обертаються, який і показує на скільки необхідно збільшити дійсну масу поїзда, щоб врахувати дію частин, що обертаються. Тоді рівняння (1)

F_р= m(1+)а/12,96, Н- називається рівнянням руху поїзда.

Для визначення прискорення руху поїзда, км/год², використовують рівняння

а = 12,96 F_р / (m (1+)),

але так як fр = F_р/(m g), то

а = 127f_р/(1+). (3)

Позначивши 127/(1+) =  отримаємо найбільш просту і зручну форму для розрахунків рівняння руху поїзда:

а =  f_р , (4)

де  - прискорення поїзда при дії питомої прискорюючої сили в 1Н/1кН, м/с².

Для різних вантажних та пасажрських поїздів коефіцієнт 0,6, а коефіцієнт

 = 127/1,06 = 120 км*кН/(Н*год²) ,

тоді а = 120f_р , (5)

для режиму тяги - а = 120( f_д - w_о);

режиму вибігу - а = 120(-w_ох);

режиму гальмування - а = 120(-b_г - w_ох).

З рівняння руху поїзда випливає що питома прискорююча сила визначає характер руху поїзда.

Аналіз рівняння руху поїзда

Якщо питома прискорююча сила додатна, то поїзд рухається прискорено і його прискорення залежить від сили f_р . При постійному додатньому значенні f_р його рух буде рівноприскоренний. Прискорення рухові можливе в режимі тяги, коли сила тяги перевищує сили опору рухові, в режимі вибігу і гальмування - коли складова сили ваги поїзда на спуску перевищує сили опору руху. Якщо питома прискорююча сила від’ємна то рух поїзда буде уповільнений, а при постійній від’ємній силі - f_р рівноуповільнений. Зниження швидкості в режимі тяги виникає, тоді коли сила тяги виявляється меншою від сил опору руху в режимі вибігу і гальмування під час руху на горизонтальній ділянці шляху чи на підйомі.

Якщо питома прискорююча сила дорівнює нолю, тоді поїзд рухається рівномірно. В режимі тяги такий рух відбувається тоді, коли сила тяги дорівнює силам опору рухові.

Під час руху поїзда прискорююча сила змінюється в залежності від зміни режиму роботи локомотива, плану та профілю колії, швидкості руху, сили напрямку вітру і т.і. Тому в звичайних випадках поїзд їде прискорено або уповільнено і лише в окремих випадках рівномірно.

П окажемо питомі прискорюючі (уповільнюючі) сили, які діють на поїзд при різних швидкостях у вигляді графіков f_р(V) під час руху по горизонтальній ділянці щляху, без урахування дотаткового опору руху, рисунок 3. Ці графіки являють собою діаграми питомих прискорюючих (уповільнюючих сил): крива 1 – залежність питомої сили тяги локомотива, крива 2 – залежніть питомих прискорючих сил в режимі тяги, крива 3 – залежність питомих сил основного опору руху поїзда при роботи локомотива під струмом, крива 4 – теж без струму, крива 5 – залежність питомих гальмівних сил, крива 6 – залежність питомих уповільнюючих сил від швидкості.

Рисунок 3 - Діаграми питомих прискорюючих та уповільнюючих сил які діють на поїзд

Аналітичний метод розв’язку рівняння руху поїзда

Визначення маси поїзда, розв’язок рівняння руху, витрати електроенергії чи пального на переміщення поїзда і перевірка використання потужності локомотива, все це відноситься до тягових розрахунків. В процесі розв’язку рівняння руху, для поїзда даної маси, визначають швидкість руху у будь-якій точці і час, необхідний на проходження будь якої ділянки шляху. Для цього спочатку знаходять питомі прискорюючі і уповільнюючі сили для всіх можливих швидкостей руху. Рівняння руху поїзда можна розв’язувати аналітичним або графічним методами.

Він полягає в тому, що взявши в будь-якому інтервалі швидкості незмінну прискорюючу силу, отримують рівноприскоренний рух для якого справедлива рівність:

V₂ = V₁ + at , де V₁ - швидкість на початку часу t = 0, км/год;

V₂ - швидкість в кінці відрізка часу t, км/год;

а - прискорення руху, км/год²;

t - інтервал часу протягом якого визнається зміна швидкості, год.

Звідси інтервал часу

t = (V₂ -V₁) / a = V/a, (2)

де V - збільшення швидкості за час t, км/год.

Якщо з рівняння руху поїзда підставити значення прискорення а, то отримаємо:

t = V/( f_рср) або t = 60V/( f_рср), (3)

так як 1година = 60 хвилинам.

Залежність між шляхом, який поїзд проїхав S, км, та середньою швидкістю руху Vср, км/год, отримують із визначення середньої швидкості:

Vср = S/t, звідки S = Vсрt. (4)

Якщо Vср замінити половиною суми початкової V1 та V2 кінцевої швидкостей в інтервалі часу t: Vср = (V1 + V2)/2 та підставити значення t, то шлях в км визначатиметься так:

S=(V1+V2)V/(2 f_рср) (5)

так як V = V2-V1 то підставивши в формулу (5) після деяких перетвореннь получимо S = (V₂² - V₁²) / (2 f_рср), враховуючи те, що 1 км =1000 м отримаємо:

S = 500 (V₂² - V₁²) / (2 f_рср). (6)

Формули для t та S дозволяють визначити час та шлях, який проходить поїзд на кожному інтервалі швидкостей.

Враховуючи що  = 120 км*кН/(Н*год²) формули набудуть виду:

t = V/(2f_рср),

S = 4,17(V₂² - V₁²) / f_рср. (7)

Приклад: визначити шлях, який проходить вантажний поїзд, на станції зі схилом і=0 при зміні швидкості від 0 до 60 км/год і необхідний для цього час. Iнтервал швидкості прийняти рівним V = 10 км/год. Побудувати графічні залежності V=f(t); V=f(S); t=f(S) .

Рішення :

Під час зміниі швидкості від 0 до 10 КМ/Г . Середнє значення питомої прискорюючої сили буде дорівнювати:

1.f_р = [(f_д - w_o)_V=0+(f_д - w_o)_V=10]/2 = [14+12]/2 = 13 Н/кН.

t1 = 10/(2*13)=0,385 год.

S1 = 4,17(10*10-0)/13=32 метрів.

2………………………………………………………….

……………………...

………………………………………...

n. Шлях який поїзд пройде при розгоні:

S = S1 + .... + Sn .

n+1. Час розгону :

t = t1 + .... + tn .

Графічний метод отримав найбільше поширення на практиці.

Для побудуви кривої швидкості у відповідному масштабі будують криві прискорюючих та сповільнюючих сил. Потім спрямлений профіль колії наносять на міліметровий папір окремо для кожного напрямку руху поїзда, відкладаючи на осі абсцис шлях S в масштабі Y. По кривим f_д - wo = f (V) будують криву V = f(S) в масштабі m, для чого задаються інтервалами швидкості V.

Рисунок 1 - Приклад побудови кривої швидкості

Побудову кривої швидкості починають з моменту зрушення поїзда, наприклад ст.А (т.А’) розташованої на площадці. Задаються першим прирощенням швидкості V1 = 10 км/год. На кривій f_д – w_o = f (V) відмічають точку В, яка відповідає середній величині прирощення швидкості (V₁) /2. До початку координат точка О, та точки В прикладують лінійку. До лінійки до початку побудування швидкості (т. А’) прикладують катетом прямокутний трикутник. З точки А’ по другому катету проводять пряму до перетину в точці В’ з горизонталлю, яка відповідає прирощенню швидкості V₁.

Отримують перший відрізок швидкості (відрізок А’V’ ) на якому швидкість поїзда збільшилась від 0 до 10 км/год.

Подальшу побудову виконують аналогічно, при цьому з точки В’ проводять лінію перпендикулярну променю, який з’єднує точку О з точкою С на кривій прискорюючих сил, яка відповідає швидкості V1 + (V2)/2 до кінцевої величини швидкості V1 + V2 =20 км/год.

а) Побудову кривої швидкості під час руху поїзда на гору виконують таким же чином, але в цьому випадку лінійку прикладають не до початку координат О, а до точки яка відповідає величині підйому, цим самим зменшують прискорюючу силу f_д - w_о на величину опору від підйому.

б) Якщо локомотив рухається з гори, то до значення f_д - w_о додають величину сили від схилу i_к, спрямовану за рухом поїзда. Тому початок координат переносять вправо на величину i_к і потім до цієї точки прикладають лінійку.

в) При побудові кривої швидкості для випадку пересування поїзда в режимі холостого ходу, замість кривих прискорюючих сил використовують питомі опору руху w_ox = f (V).

г) Якщо рух поїзда відбувається в режимі автоматичного гальмування, то при побудові кривої швидкості використовують криву сповільнюючих сил b_г + w_ох = f (V). При цьому точки вибраних інтервалів зміни швидкостей відкладають на кривій b_г + w_ох = f (V) і за допомогою лінійки з’єднують їх з точкою на осі абсцис, які відповідають величинам і .

При побудові кривої швидкості необхідно врахувати перевірку дії гальмів під час руху, зменшуючи для цього швидість у вантажних поїздах на 20 км/год а у пасажирських на 10 км/год. Необхідно також звернути увагу на використання встановленних дозволених швидкостей з конструкції локомотива, стану колії з урахуванням довжини поїзда та умов безпеки руху.