Интегральная теорема Лапласа.

Теорема Если вероятность р наступления события А – постоянна, и в каждом из n независимых испытаний , то вероятность того, что событие А появится в n испытаниях от k₁ до k₂ раз, приближенно равна определенному интегралу:

, где ; .

Функция называется интегральной функцией Лапласа или интегралом вероятности. Она табулирована для Х (см. приложение, табл. 1).

Свойства (х) (её график показан ниже, на рис. 5):

1. (х) определена для любого х.

2. (х) не имеет экстремумов.

3. F(х) имеет одну точку перегиба О(0,0).

4. Имеет две горизонтальные асимптоты .

5. F(х) нечетная, F(-х) = - F(х); симметричная относительно точки О(0,0).

6. Пересекает оси в т. О(0,0).

7. При х = 5 F(х) = 0, 49999997, т.е. практически при F(х) = 0,5.

8. F(х) есть первообразная для - функции Гаусса. Она табулирована (см. табл.1 приложения), её график приведен ниже, на рис. 6.

Итак: , где ; . Формула называется интегральной формулой Лапласа.

Пример Монету бросают 100 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет от 32 до 60 раз. n = 100, k₁ = 32, k₂ = 60; Вероятности выпадения и невыпадения герба; ; . Тогда:

.

Вероятность отклонения относительной частоты события А от его теоретической вероятности.

Пусть проведено n независимых испытаний и в т из них событие А появилось. Относительная частота появления события . Теоретическая вероятность появления события А в каждом из n независимых испытаний равна р.

Т ребуется найти , где  – заданное число. Событие запишем по-другому: или . Отсюда . Используя интегральную формулу Лапласа, найдем требуемую вероятность:

.

Итак: .

Пример: Вероятность того, что деталь нестандартна, равна р = 0,1. Найти, какое количество деталей надо отобрать, чтобы с вероятностью р = 0,9544 можно было утверждать, что относительная частота появления нестандартных деталей среди отобранных отклонится от постоянной вероятности р по абсолютной величине, не более чем на 0,03.

р = 0,1; e = 0,03; Р = 0,9544; . n - ? q = 0,9.

.

; .

деталей.

Лекция №7.

Распределения непрерывных случайных величин.

1. Экспоненциальный (показательный) закон распределения.

В теории массового обслуживания, в физике, биологии, вопросах надёжности и др. часто имеют дело со случайными величинами, имеющими так называемое экспоненциальное или показательное распределение.

Определение. Непрерывная с. в. Х распределена по показательному закону, если её плотность вероятности имеет вид:

Функцию распределения для данной плотности найдём по формуле:

Графики функции распределения и плотности распределения для биномиального закона распределения вероятностей приведены ниже.

Определим числовые характеристики экспоненциального распределения.

Для показательного распределения математическое ожидание и с.к.о. совпадают, что является признаком его наличия.

Пример1. Случайная величина Т – время работы до отказа мощной осветительной лампы – имеет показательное распределение. Определить вероятность того, что лампа проработает не менее 600 часов, если известно, что среднее время работы ламп такого типа равно 400 часов.

Решение.

Из условия известно, что математическое ожидание случайной величины Т равно , тогда:

Вероятность попадания с. в. Х, распределённой по показательному закону, на заданный промежуток подсчитывается по формуле: