3. Задачи на сложение, умножение событий, формула полной вероятности, формула Байеса.

   0. Два стрелка делают по одному выстрелу. Рассматриваются события:

Что означают события: А + В; АВ; (хотя бы одно попадание; два попадания; два промаха; 1-ый попал, 2-ой - нет; первый промахнулся, второй попал; одно попадание при двух выстрелах).

0. Какие из перечисленных групп событий образуют ПГНС?

а) Бросается монета. А – появление герба; В – появление цифры. (Да).

б) Бросают две монеты. А – появление двух гербов; В – появление двух цифр. (Нет).

в) Два выстрела по мишени. А – ни одного попадания; В – одно попадание; С – два попадания. (Нет).

Г) Два выстрела по мишени. А – хотя бы одно попадание; В – хотя бы один промах. (Нет).

Для перечисленных опытов сформируйте ПГНС.

0. Определить вероятность того, что партия в 100 изделий, среди которых 5 бракованных, будет поринята при проверке, если условиями приёмки допускается не более одного бракованного изделия из 50 пороверенных?

А – бракованных не оказалось среди 50 отобранных; В – одно бракованное изделие среди 50 отобранных.

3.4 В двух ящиках находятся детали: в первом – 10 деталей, из них – 3 стандартных; во втором – 15 деталей, из них – 6 стандартных. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что обе детали окажутся стандартными. (Р(АВ)=Р(А)Р(В)=0,12.)

3.5 Два стрелка сделали по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания для первого стрелка для второго - Найти: 1) вероятность того, что оба – попадут; 2) вероятность того, что оба – промахнутся;

3) вероятность того, что в мишени будет одна пробоина; 4) вероятность того, что мишень будет поражена. ( 1) 0,42; 2) 0,12; 3) 0,46; 4) 0,88.)

3.5 Электромагнитное реле типа РЭС – 100 состоит из 3-х основных узлов: катушки, якоря и контактов. Каждый из них, независимо друг от друга, может выйти из строя в течение времени T. Отказ хотябы одного узла приводит к выходу из строя всего прибора. Надёжность катушки якоря - контактов - Найти надёжность прибора в целом. (Р = 0,684.)

3.6 Электрическая цепь между точками А и В составлена по схеме:

Различные элементы цепи выходят из строя независимо одно от другого. Вероятность выхода из строя за время Т элементов цепи следующие:

элемент
вероятность	0,6	0,5	0,4	0,7	0,9

Определить вероятность перерыва в питании за указанный промежуток времени. (

0. Студентам, вышедшим на практику, предоставлено: 15 мест в Керчьрыбпроме, 10 – в Севастополе и 5 – на переправе. Какова вероятность того, что три друга попадут: а) на переправу ; б) в одно место.

( а) б)

0. Из зенитного орудия производится три выстрела по снижающемуся самолёту. Вероятность попадания при первом, втором и третьем выстрелах соответственно равны 0,1; 0,2; 0,4. Определить вероятность не менее двух попаданий. (Р = 0,124).

1. Происходит бой между истребителем и бомбардировщиком. Стрельбу начинает истребитель, и с вероятностью 0,2 сбивает бомбардировщик. Если после этого Б не сбит, то он открывает ответный огонь и сбивает И с вероятностью 0,3. Если И не сбит, то он снова открывает огонь и уничтожает Б с веороятностью 0,4. далее бой не продолжается. Найти вероятность того, что: а) будет сбит истребитель; б) будет сбит бомбардировщик; в) сбит хотя бы один самолёт. ( а) б) 0,2 + (1- 0,3)0,4- в) 0,24 + 0,424 = 0,664.)

3.10 На промысле в Норвежском море траулер засаливает 70% всего улова скумбрии, из них – 84% первым сортом. Какую часть улова, сдаваемого траулером на базу, будет составлять скумбрия первого сорта? (Р = 0,588.)

3.11 Три подводных охотника одновременно выстрелили в акулу. Найти вероятность того, что акула будет загарпунена, при условии, что вероятность попадания каждого охотника равна 0,6. ( Р =

3.12 Улов из 500 рыб подвергают выборочному контролю. Весь улов считается не пригодным, если из пяти прверенных рыб хотя бы одна окажется бракованной. Какова вероятность того, что данный улов не будет принят, если он содержит 5% недобракачественной рыбы?

3.13 Вероятность появления события при одном испытании равна 0,01. Сколько нужно сделать испытаний, чтобы событие произошло: а) хотя бы один раз? б) с вероятностью не меньшей 0,5? в) с вероятностью, не меньшей 0,9? ( а) 0,1 = 1 – 0,99ⁿ n > 12; б) 0,5 = 1 – (1 – 0,01)ⁿ в) 0,9 = 0,99ⁿ )

3.13 Транзистор может принадлежать к одной из трёх партий с вероятностями 0,25; 0,5; 0,25. Вероятности того, что транзистор проработает указанное число часов для этих партий, равны: 0,1; 0,2; 0,4. определить вероятность того, что транзистор проработает заданное число часов.

3.14 В ящике лежит 20 тенисных мячей, в том числе 12 – новых и 8 - игранных. Из ящика извлекают наугад 2 мяча для игры и после игры возвращают в ящик. После этого из ящика вынимают 2 мяча для следующей игры. Найти вероятность того, что эти два мяча будут неигранными.

Решение.

Гипотеза H₁ – для первой игры взяты два новых мяча;

P(H₁) =

Гипотеза Н₂ – для первой игры взяли один новый, один старый мяч;

Р(Н₂) =

Гипотеза Н₃ – для первой игры выбрали два старых мяча;

Р(Н₃) =

Событие А - для второй игры взяли два новых мяча.

Р(А/H₁) = р(А/H₂) = Р(А/Н₃) =

Р(А) = Р(Н₁)Р(А/Н₁) + Р(Н₂)Р(А/Н₂) +Р(Н₃)Р(А/H₃) = 0,279.

3.15 По террористу, устанавливающему взрывное устройство, производят два одиночных выстрела из снайперской винтовки с корректировкой стрельбы. Вероятность попадания при первом выстреле, когда он стоит на коленях согнувшись, равна 0,7. При втором, когда после первого выстрела он поднялся на ноги – 0,8. В случае промаха до третьего выстрела он успевает скрыться. Для обезвреживания террориста достаточно двух попаданий. При одном попадании он может быть убит с вероятностью 0,6. Найти вероятность того, что в результате двух выстрелов террорист будет убит.

Решение.

Гипотеза Н₁ – одно попадагние при двух выстрелах;

Р(Н₁) =

Гипотеза Н₂ – два попадания при двух выстрелах;

Р(Н₂) =

Вероятность обезвредить при одном попадании: Р(У/Н₁) = 0,6;

Вероятность обезвредить при двух попаданиях: Р(У/Н₂) = 1;

Р(У) = Р(Н₁)Р(У/Н₁) + Р(Н₂)Р(У/Н₂) = 0,788.

3.16 Имеется две партии однородных изделий. Первая партия состоит из 30 изделий, среди которых 2 дефектных. Вторая партия состоит из 40 изделий, среди которых – 5 дефектных. Из первой партии случайным образом берутся 15 изделий, а из второй – 25. Эти изделия смешиваются и образуется новая партия, из которой наугад берётся одно изделие. Найти вероятность того, что изделие будет дефектным.

Решение.

Составим ряд распределения для дефектных деталей по первой партии:

Мода (наиболее вероятное число дефектных деталей, взятых из первой партии), равна: деталь

Наиболее вероятное число дефектных деталей, извлечённых из второй партии, равно: детали. ( )

Таким образом, во вновь образованной партии из 40 деталей будет 4 дефектных детали. Вероятность выбрать из неё одну дефектную деталь составляет

3.17 При отклонении от нормального режима работы автомата срабатывает сигнализатор С -1 с вероятностью 0,8; а сигнализатор С – 2 с вероятностью 1. Вероятность того, что автомат снабжён сигнализатором С – 1 или С – 2 соответственно равны 0,6 и 0,4. Получен сигнал о разладке автомата. Каким сигнализатором снабжён автомат, С – 1 или С – 2?

Решение.

Гипотеза Н₁ – автомат снабжён сигнализатором С – 1, Р(Н₁) = 0,6;

Гипотеза Н₂ – автомат снабжён сигнализатором С – 2, Р(Н₂) = 0,4;

Вероятность срабатывания автомата с сигнализатором С – 1 равна Р(А/Н₁) = 0,8. Вероятность срабатывания с сигнализатором С – 2 равна Р(А/Н₂)=1.

Вероятность срабатывания в случае разладки с любым сигнализатором равна: Р(А) = Р(Н₁)Р(А/Н₁) + Р(Н₂)Р(А/Н₂)=

Вероятность срабатфывания первого сигнализатора при разладке равна:

Р(Н₁/А) = Второго – Р(Н₂/A) = 0,455.

Автомат снабжён первым сигнализатором.

3.18 Партия состоит из вентиляторов рижского и московского заводов. В партии 70% вентиляторов рижского завода. Надёжность вентилятора московского завода за время t равна 0,95; рижского – 0,92. Прибор за время t работал безотказно. Найти вероятность того, что испытывался вентилятор московского завода.

Гипотеза Н₁ – на испытание взят вентилятор рижского завода, Р(Н₁) = 0,7.

Гипотеза Н₂ – на испытание попал московский вентилятор. Р(Н₂) = 0,3.

Вероятность надёжной работы с вентилятором из Риги Р(А/Н₁) = 0,92, а с вентилятором из Москвы – Р(А/Н₂) = 0,95.

Вероятность безотказной работы с любым вентилятором равна:

Р(А) = Вероятность того, что испытывался московский вентилятор, равна: Р(Н₂/А) =

3.19 Два стрелка сделали по выстрелу в мишень. Вероятность попадания первым – Р₁ = 0,6; Для второго – Р₂ = 0,7. Какова вероятность: а) двух попаданий; б) двух промахов; в) одного попадания; г) вероятность поражения мишени.

( а) 0,42; б) 0,12; в) 0,46; г) 0,88.)

4. Случайные величины, законы распределения, числовые характеристики

случайных величин.

4.1 По пуути движения автомашины 4 светофора. Каждый из них с вероятностью 0,5 либо разрешает (р), либо запрещает (q) проезд. Построить ряд распределения, многоугольник распределения и функцию распределения вероятностей числа светофоров, пройденных машиной без остановки. Найти математическое ожидание, дисперсию, моду распределения.

Решение.

Обозначим случайную величину – число пройденных без остановки светофоров символом Х. Её возможные значения: 0; 1; 2; 3; 4. Ряд распределения:

хi	0	1	2	3	4
Р(хi)=рi	q=0,5	Pq=0,25	P2q=0,125	P3q=0,0625	P4 =0,0625

Мат. ожидание: М(Х) = ед. с. в.

Дисперсия: D(X)= ед².

Мода: М₀ = 0.

2. Из партии в 25 изделий, среди которых имеется 6 нестандартных, случайным образом выбраны для проверки их качества 3 изделия. Составить ряд распределения случайной величины Х – числа нестандартных изделий, содержащихся в выборке.

( )

хi	0	1	2	3
pi	0,41	0,43	0,11	0,05

2. Предполагая одинаковыми вероятности рождения мальчика и денвочки, составить закон распределения случайной величины Х, котораявыражает число мальчиков в семье, имеющей 5 детей.

( Закон распределения с. в. Х – биномиальный. )

xi	0	1	2	3	4	5
pi	0,03125	0,15625	0.3125	0,3125	0,15625	0,03125

2. На отрезке дана функция вне его функция равна нулю. При каком к функция будет плотностью распределения вероятностей некоторой случайной величины X? Найти функцию распределения F(x). Определить вероятность того, что с. в. Х примет значение, не меньше (-1), но не больше 1.

Решение.

2. Дано: Определить: а) может ли эта функция быть плотностью вероятности некоторой случайной величины; б) вероятность того, что случайная величина примет свои значения из промежутка ; в) вероятность того, что в трёх независимых испытаниях она два раза окажется в указанном промежутке. ( а) Да. б) р = 2/27. в) р = 0,142.)

3. Случайная величина задана функцией распределения.

Требуется: а) найти плотность распределения вероятностей; б) определить вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значения, принадлежащие промежутку .

Решение.

а) б)

4.7 Функция распределения случайной величины Т – времени безотказной работы холодильной установки имеет вид:

Найти: а) плотность вероятности f(t); б) вероятность безотказной работы аппаратуры в течение времени Т.

Решение.

а) б)

4.8 Случайная величина Х задана функцией распределения:

Найти вероятность того, что в результате трёх независимых испытаний с. в. Х ровно 2 раза примет значения, принадлежащие промежутку .

(р = 27/64.)

4.9 Вероятность изготовления стандартной детали равна 0,9. Какова вероятность того, что среди 5 деталей не более одной настандартной?

( Биномиальное распределение, p=0,1;q=0,9.)

4.10 При движении по поросёлочной дороге автомобиль испытывает в среднем 60 толчков в течение часа. Какова вероятносать того, что за 30 секунд не будет ни одного толчка?

Решение.

Минутная интенсивность толчков дороги равна

Закон распределения – пуассоновский.