37. Процеси з незалежними приростами

Типи випадкових процесів:

1. Процеси з незалежними значеннями:

F_{t1 t2 … tn}(A1 A2 … An)=F_t1(A1) *F_t2(A2)*… *F_tn(An)

F_t(A)=P(ξ(t)єА)

2. Процеси з незалежними приростами t1<t2<t3<…<tnξ(0)=0

ξ (t2)- ξ (t1); ξ (t3)- ξ (t2); ξ (tn)- ξ (tn-1) прирости незалежні

Ft(A)=P{ ξ(t) є A }Ft,s (B)=P { ξ(t)-ξ(s) є B }

ξ(tn)=(ξ(tn)-ξ(tn-1))+ (ξ(tn-1)-ξ(tn-2))+ (ξ(tn-2)-ξ(tn-3))+…+(ξ(t2)-ξ(t1))+ ξ(t1)

Однорідні процеси з незалежними приростами

F_t,s(B)=F_t-s(B)

ξ(t) – ξ(s) ~ ξ(t+1) – ξ(s+1) ~ ξ(t-s) – ξ(0) =0

φ_t(λ)=Me^iλξ(t) =e^tk(λ) k(λ) кумулянтаОПНП

k(λ)=iλa – (t² ϭ² )/2+ (e^{i λ x} -1-(iλx)/(1+x²) )

( (x²+1)/x ) dG(x) G(0)=0 dG(x) – функція обмеженої варіації

Приклади ОПНП : вінерівський процес; пуасонівський процес; процеси відновлення; гілясті процеси

38. Вінерівський процес (процес броунівського руху):

1) w(t) – ОПНП;

2)M(w(t+h) – w(t)) = M(w(h))=0

3)M(w(t+h)-w(t))² = Mw²(h)=G²h

4)M|w(t+h)-w(t)|³ = M|w(h)|³ = o(h)

39.Пуассонівський процес

П роцес П(t), t>0, який приймає значення {0…n}, називається пуассонівським, якщо:

1)ОПНП, П(0)=0; 2) Р{П(t+h)- П(t)=1}=λh+o(h);

3) P{ П(t+h)- П(t)=0}=1- λh+o(h); 4)P{ П(t+h)- П(t)>1}=o(h);

Позначимо

Розпишемо

h￫0

Для зручності введемо генератрису:

К-те рівняння множимо на

Отже, в момент часу t пуассонівський процес має пуассонівський розподіл з параметром

ПП(t)= ДП(t)=

40. Процеси відновлення. Функція відновлення

_{- ПНОРВВ}

Mτ_i ≥ a

S₁ =

S₂ =

S_n =

- випадковий процес приймає цілі невід’ємні значення, кількість точок відновлення до моменту часу t

Тотожність комарова-феллера

– Інтегральне рівняння відновлення

Приклад:

Пуасонівський процес

ЗВЧ для процесів відновлення:

Теорема 1

Теорема2-елементарна Теорема відновлення

Т3 основна теорема відновлення

T4 Вузлова теорема відновлення

Нехай виконуються умови теореми 3

f(t) монотонно спадна,інтегрована

Парадокс Т відновлення

42. Гіллясті процеси

ξ p(ξ>k)=p(k) ^{- ланцюг Маркова}

p(ξ=0)=p0>0

φn(s)=Ms^ηn φ(s)= Ms^ξ1= s^kp_k φ(s)=M_s

_P{η_n-1=k}= ^k(s)p(η_n-1=k)=φ_n-1 (φ(s))= φ_n(s)= φ_n-1(φ(s))= φ_n-2 (φ(φ(s))) φ ₁(s)= φ(s)

= φ_n-2 (φ₂(s))= φ_n-3 (φ₃(s))= φ₁(s) (φ_n-1(s))= φ(φ_n-1(s))

Mη_n=φ_n’(1)=M_n φ_n’(1)* φ’(φ_n-1(1)) *φ’_n-1(1)=φ’(1) φ’_n-1(1)₂m*m_n-1

m_n=m*m_n-1 m_n=mⁿ q_n=p(η_n=0) q₀=p(ξ=0)=p φ(0)=p₀=q₀ φ_n(0)=q_n

q_n =q_n-1(p₀) q_n= φ(q_n-1) lim q_n=π π= φ(π)

{ η_n =0}→ {η_n-1=0}

q_n≤ q_n+1 Момент зростання послідовності 0<q<1

ᴲ n⁼ π π= φ(π)-найбільший корінь φ(1)=1

q₁=p₀ q₂= φ(q₁) φ(s)=p₀+sp₁+s²p₂+…

π= φ(π) = φ(π) _n= π π≤

q₁ =φ (q₁)=p₀+p₁q₁+p₁q²+…≥p₀; q₁= φ(0)=p_0; q_2≥q_1;

q₂= φ (q₁) w₀(t)=-w(t)

η_n p_k=p{ ξ_i=k} p₀=p{ξ=0}>0-ймов. виродження

φ (s)= ^kp_k=p₀+sp₁+s² p2+…

φ_n(s)=Ms^Zn

1. φ_n(s)= φ_n-1(φ(s)) 2) φ_n(s)= φ(φ_n-1(s))

m_n=mⁿ m=Mξ φ’(1)=Mξ φ’_n(1)=M η_n

q_n=p{ η_n =0} q_n≤ q_n+1 lim q_n= π q_n = φ _n(0) φ(1)=1 π=1 q_n = φ(q_n-1) π= φ(π)

Припустимо = φ ( ) π≤ q₁₌p(ξ=0)=p₀ q₂= φ (q₁)

q₁≤ = φ( ) p₀ =p₀+ p₁+ p₂+… q_n≤ q₂=φ(q₁)≤φ( )=

q_n= φ(q_n-1) ≤ φ( )= q_n≤ n→∞ π≤

1. _m≥1 Mξ =m

φ’(1)≥1

й мов. вир-ня ≤1

0< π <1

2 )m<1 φ’(1)≥1 π=1

Виродиться