16. Функція розподілу, щільність випадкових величин.

Випадковою величиною називається функція (w) на , яка вимірна відносно -алгебри , тобто така функція, коли при кожному дійсному x {w : wx} , де (, , P)- ймовірнісний простір.

Функцію аргументу х, що визначає ймовірність випадкової події (Х < x), називають функцією розподілу ймовірностей:

Fx P{w : wx}.

Н априклад, F(5)=P(X < 5) означає, що в результаті експерименту випадкова величина Х (дискретна чи неперервна) може набути значення, яке міститься ліворуч від х = 5, що ілюструє рис.

Властивості функції розподілу F(x):

1. 0 ≤ F(x) ≤ 1

2. F(x) є неспадною функцією, тобто: F(x2) ≤ F(x1), якщо x2 > x1

3. ,(a<b)

4. F(x) – неперервна зліва

5. F(x) –неспадна a<b; F(a) ≤F(b) P(a≤ )=F(b)-F(a)>0; F(b) F(a)

6. a-т. Неперервності.

7.

Для кожної функції F (x), що має ці властивості, можна побудувати ймовірнісний простір (, , Р) і випадкову величину (w) на ньому, яка має функцією розподілу F(х).

Щільність розподілу випадкової величини .

Якщо функцію розподілу F(x) випадкової величини можна подати у вигляді

то кажуть, що випадкова величина має щільність розподілу p(x), і таку випадкову величину називають неперервною.

Майже при всіх x виконується рівність F`(x) = p(x). Щільність розподілу p(x) — невід'ємна функція і

Виконується рівність:

Властивості щільності:

1. ;

2. 

3. +O( X)

17. Рівномірний, показниковий та нормальний розподіли, їх характеристики.

Класичні неперервні розподіли:

1. Рівномірний розподіл на [a;b]

2. Показниковий (експоненціальний)

3. Нормальний розподіл (Карла-Гаусса)

N(a,σ²)- параметри розподілу

	Дзвіноподібна функція

N(0,1) – стандартний нормальний розподіл

P(x)= - функція Лапласса

18. Функції від неперервних випадкових величин

ƺ F _ƺ (x) p _ƺ (x) ɳ = f(ƺ )

1. f(x) ↑ F_ɳ(x)= P ^-1(x)}=F_ƺ(f^-1(x))

y=x² y=1/x y=e^x

y= y=1/x y= ln x

Приклад:

ƺ має показниковий розподіл з параметром ƛ:

^F_ƺ(x) = 1-e^-ƛx, x>0

ɳ=ƺ²

f (x)= x²

f^-1(x)=

F_ɳ(x)=F_ƺ( )=1- e^-ƛx x>0

p(x)= x>0

2. f(x)↓

F_ɳ(x)= P ^-1(x)}=1-F_ƺ(f^-1(x))

^F _ƺ(x) = 1-e^-ƛx, x>0

ɳ=1/ƺ

f ^-1(x)=1/x

F_ɳ(x)=1-(1- e^-ƛ/x)= e^-ƛ/x x>0

p(x)= e^-ƛ/x _* x>0

3. f(x) ↑↓

F _ɳ(x)= P

П риклад

ƺ [-1;1]

F_ƺ(x)=

ɳ=|ƺ|

P_ɳ(x)=P{|ƺ|<x} = [0;1]

= {-x<ƺ<x} = F_ƺ(x)- F_ƺ(-x)= - =x

[-a;a] |ƺ| [0;a]

19. Багатовимірні розподіли.

Вектор, у якого компоненти випадкові величини – випадковий.

(x1,x2…xn)=P{

Властивості багатовимірної функції розподілу:

1. По кожній координаті функція неперервна зліва;

2. По кожній координаті функція неспадна;

3. ;

4. 

-частинна похідна

B-строчка, Т- стовпчик

P(x1,x2…xn)=

(багатовимірна функція = добутку одновимірних.